Hallo Atorian,
Die allgemeine Funktion für eine Parabel ist $$p(x) = ax^2 + bx + c$$ Wenn die Parabel mit der Funktion \(f(x)=x+1\) bei \(x=2\) einen gemeinsamen Punkt hat, dann ist $$4a + 2b + c = 2 +1$$ Da \(f\) auch durch den Punkt \(Q=(x_Q|-2)\) geht ist $$f(x_Q) = -2 = x_Q + 1 \quad \implies x_Q= -3$$ Daraus folgt dann $$(-3)^2 a - 3b + c = -2$$ beim Schnittpunkt mit der Y-Achse ist \(x=0\) also ist \(p(0)=c=-5\). \(c=-5\) kann man oben einsetzen, es verbleiben zwei Gleichungen mit den Unbekannten \(a\) und \(b\): $$4a + 2b = 8 \\ 9a - 3b = 3 \\ \implies a=1, \space b=2$$ Damit lautet die Funktion der Parabel $$p(x)= x^2 + 2x - 5$$ Für die Nullstellenform muss man noch die Nullsstellen \(x_{1,2}\) berechnen. nach der pq-Formel ist $$x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 + 5} \\ \quad \implies x_1 = -1 + \sqrt 6 , \space x_2 = -1 - \sqrt 6$$ Daraus folgt dann die Nullstellenform $$p(x)=(x +1 - \sqrt 6) (x + 1 + \sqrt 6 )$$ Der Plot zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist ~plot~ x^2+2x-5;x+1;{2|3};{-3|-2};{-1|-6};[[-6|6|-7|6]] ~plot~
Der Scheitelpunkt folgt aus der pq-Formel, da die Nullstellen symmetrisch zum Scheitelpunkt liegen. Er liegt folglich bei \(x_s=-1\) bzw. \(S=(x_s| f(x_s)) = (-1| -6)\) (s. Graph)
Gruß Werner
