Eigenwert Eigenvektoren

Question

Aufgabe:Es ist Pro Frage nur eine Antwort richtig.Wäre cool wenn ihr es begründet für mein Verständnis

1.) Die lineare Abbildung sei die Drehung 90° um den Winkel α .

o  1 ist der einzige Eigenwert.
o  Es existieren keine reellen Eigenwerte.
o  Die Eigenwerte sind  1 und -1  .

2.) Die lineare Abbildung sei die Streckung um den Faktor 2.

o 2 ist der einzige Eigenwert.

o Die Eigenwerte sind  2 und -2.

o Jeder Vektor im  ist Eigenvektor.

3.)Die lineare Abbildung sei die Spiegelung an der x1 -Achse.

o Zum Eigenwert  -1 gehört der Eigenvektor  (1 0).
o Zum Eigenwert  1 gehört der Eigenvektor (0 1).
o Eigenwerte sind  1 und -1 .

4.)Welche der folgenden Aussagen ist für Eigenwerte λ  einer linearen Abbildung ϕ(x)= Ax  falsch?

Bemerkung:  I sei die Einheitsmatrix.

o Es gibt einen Vektor ungleich 0 , so dass  Ax=λx gilt.
o Für λ hat das homogene lineare Gleichungssystem (A-λ I) v=0     genau eine Lösung.
o λ ist eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
o Für  λ ist die Determinante der Matrix A - λ I gleich Null.

Answer 1

Aufgabe:Es ist Pro Frage nur eine Antwort richtig.Wäre cool wenn ihr es begründet für mein Verständnis

Folgende Färbungen ohne Gewähr. 
1.) Die lineare Abbildung sei die Drehung  um den Winkel α = 90° .

o  1 ist der einzige Eigenwert.
x  Es existieren keine reellen Eigenwerte, weil kein Vektor seine Richtung beibehält.
o  Die Eigenwerte sind  1 und -1  .

2.) Die lineare Abbildung sei die Streckung um den Faktor 2.


x 2 ist der einzige Eigenwert.

o Die Eigenwerte sind  2 und -2.

o Jeder Vektor im  ist Eigenvektor. Satz unvollständig?

3.)Die lineare Abbildung sei die Spiegelung an der x1 -Achse.

o Zum Eigenwert  -1 gehört der Eigenvektor  (1 0).
o Zum Eigenwert  1 gehört der Eigenvektor (0 1).
x Eigenwerte sind  1 und -1 . Bei den oberen Behauptungen stimmen die Richtungen nicht.

4.)Welche der folgenden Aussagen ist für Eigenwerte λ  einer linearen Abbildung ϕ(x)= Ax ist oder sind  falsch?

Bemerkung:  I sei die Einheitsmatrix.

o Es gibt einen Vektor x ungleich Nullvektor? , so dass  Ax=λx gilt.
x Für λ hat das homogene lineare Gleichungssystem (A-λ I) v=0    genau eine Lösung. wonach soll aufgelöst werden? Es gibt Eigenwerte mit mehr als einem zugehörigen Eigenvektor. 
o λ ist eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
o Für  λ ist die Determinante der Matrix A - λ I gleich Null.