n_{0} finden und Gleichung lösen

Question

Aufgabe:

finden Sie zu ε > 0 ein n₀ ∈N so dass

$$\left| \frac { 6 n ^ { 2 } - 4 n + 2 } { 12 n ^ { 2 } + 4 n - 6 } - \frac { 1 } { 2 } \right| < ε $$ für alle n ≥ n₀ gilt.

Problem/Ansatz:

Das soll die Lösung der Gleichung sein:

$$\frac { 5 - 6 n } { 12 n ^ { 2 } + 4 n - 6 }$$

aber ich weiß nicht wie die Lösungschritte sind.

Answer 1

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Ich habe die Betragstriche mal weggelassen.

Comments

Danke hab jetzt meinen Fehler gefunden.Könntest du mir auch noch bitte sagen wie man n0 berechnet ?

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@ Apfel_Kirsch

Das war bei mir damals Stoff Abitur 11. Klasse.

Folgenden Ansatz:

| a_n-g | <  ε

und hatten das Ganze nach n umgestellt , in Abhängigkeit von ε,

wenn nicht gegeben.

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Der Grenzwert der Folge

an = (6·n^2 - 4·n + 2)/(12·n^2 + 4·n - 6)

ist offensichtlich 1/2.

Daher ist

|(6·n^2 - 4·n + 2)/(12·n^2 + 4·n - 6) - 1/2| < ε schon richtig. Es geht um die Abweichung von Grenzwert. Man soll jetzt ein n finden, sodass die Abweichung unter ε liegt.

Also

|(5 - 6·n)/(12·n^2 + 4·n - 6)| < ε

12·ε·n^2 + 4·ε·n - 6·ε - 6·n + 5 > 0

n > (√(76·ε^2 - 72·ε + 9) - 2·ε + 3)/(12·ε)

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Der Grenzwert der Folge ... ist offensichtlich 1/2

ist natürlich richtig. Habe den falschen "Rahmen" erwischt.

Zur Vermeidung von Verwirrung bei späteren Interessenten werde ich meinen Kommentar löschen.

Answer 2

Z.B.so:$$\left\vert\frac{5-6n}{12n^2+4n-6}\right\vert=\frac{6n-5}{6n^2+(6n^2+4n-6)}<\frac{6n}{6n^2}=\frac1n.$$Wähle also ein n₀, für das n₀·ε > 1 gilt.