Zeitpunkt des stärksten Wachstums des Stammumfangs berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Zeitpunkt des stärksten Wachstums des Stammumfangs. Die Prüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
f(x)= 4/1+20e^-0,05t
f‘(x)= 4e^-0,05t/ (1+20e^-0,05t)

Können Sie mir hier helfen? Was ist hier zu tun?

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Vom Duplikat:

Titel: Extrema berechnen f‘(x)=0

Stichworte: extrema,analysis

Aufgabe:

Extrema berechnen.

$$f ^ { \prime } ( x ) = 0$$

$$ f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 4 e ^ { - 0,05 t } } { \left( 1 + 20 e ^ { - 0,05 t } \right) ^ { 2 } } $$

$$0 = \frac { 4 e ^ { - 0,05 t } } { \left( 1 + 20 e ^ { - 0.05 t } \right) ^ { 2 } }$$

Answer 1

bist du sicher, dass du nicht nicht vertan hast? Denn für $$0 = \frac{4 e^{-0.05 t}}{(1 + 20 e^{-0.05 t})^2} $$ existiert keine reelle Lösung, da der Nenner nicht null werden darf, muss der Zähler null werden:

\(4e^{-0.05t}=0 \Rightarrow L=\{\emptyset\}\) (e-Funktionen können nicht null werden)

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Berechnen Sie den Zeitpunkt des stärksten Wachstums des Stammumfangs. Die Prüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

f(x)= 4/1+20e^-0,05t

f‘(x)= 4e^-0,05t/ (1+20e^-0,05t)

Können Sie mir hier helfen? Was ist hier zu tun?

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Also 1. solltest du Klammern setzen, da ich nicht weiß, ob dein f(x) \(\dfrac{4}{20\mathrm{e}^{-\frac{1}{20}}t+1}\) oder \(\dfrac{4}{1}+20e^{-0.05t}\) sein soll.

2. Stellen des stärksten Anstiegs/Wachstums etc. findet man sicherlich nicht an Extremstellen, dort ist die Steigung ja für gewöhnlich null. Du brauchst die 2. Ableitung.

Wenn ich die Ableitung deiner 1. Ableitung auf dem Bild von dir ableite und null setze, erhalte ich als Lösung \(t=20 \ln(20)\).

In die 3. Ableitung eingesetzt erhalte ich einen negativen Wert. Also liegt eine links-rechts Krümmung vor. Das könnte theoretisch hinkommen.

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Finde hier kein Duplikat mehr. (Oder sehe es gerade nicht).

https://www.mathelounge.de/593581/nullstelle-berechnen-mit-e-funktion

Answer 2

f(x) = 4/(1 + 20·e^(- 0.05·t))

f'(x) = 4·e^(0.05·t)/(e^(0.05·t) + 20)^2

Extremstellen gibt es keine beim Logistischen Wachstum. Man hat eine streng monoton steigende Funktion, die angefangen bei t = 0 von 4/21 steigt und sich dem Grenzwert 4 nähert.

f''(x) = e^(0.05·t)·(20 - e^(0.05·t)) / (5·(e^(0.05·t) + 20)^3) = 0

20 - e^(0.05·t) = 0 --> t = 20·LN(20) = 59.91464547

Eine Wendestelle und damit das höchste Wachstum hat man bei ca. t = 60. Ich glaube das kann man auch am Graphen von f recht gut nachvollziehen.

~plot~ 4/(1+20*exp(-0.05x));[[0|200|0|5]] ~plot~

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Vielen Dank.

Können Sie mir noch sagen, wie Sie auf die zweite Ableitung gekommen sind.

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Mit der Quotientenregel.

Lass es dir vormachen und frag gezielter nach, wenn du etwas nicht verstehst.

https://www.ableitungsrechner.net/#expr=4%C2%B7e%5E%280.05%C2%B7t%29%2F%28e%5E%280.05%C2%B7t%29%20%2B%2020%29%5E2&diffvar=t

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Könnten Sie mir Ihre Schritte notieren. Schritt für Schritt. Ich wäre Ihnen sehr dankbar.

Ich möchte es endlich verstehen. :(