wenn es nur darum geht, eine qualitative Aussage der Lage der Ebene zueinander zu machen, dann reicht es aus, nachzuweisen, dass mindestens einer der Richtungsvektoren einer Ebene nicht linear von den Richtungsvektoren der anderen Ebene abhängt. Es sei $$E_1: \space x = a + r \cdot b + s \cdot c\\ E_2: \space x = d + t \cdot e+ u \cdot f$$Wenn man nun nachweist, dass die Gleichung $$r \cdot b + s \cdot c = e$$ keine(!) Lösung hat, dann schneiden sich die Ebenen und die Schnittmenge ist eine Gerade - also: $$r \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$ D.h. Du brauchst bloß das Gleichungssystem $$\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\\end{array}$$ zu lösen. Das wäre \(r= 1\) und \(s=-1\). Setzt Du dies in die 3.Zeile ein, so erhältst Du $$1 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 \ne 1 $$ Es existiert keine Lösung! Das bedeutet, dass \(e\) von \(b\) und \(c\) - den Richtungsvektoren von \(E_1\) - linear unabhängig ist und somit nicht in \(E_1\) liegt. Folglich existiert eine Schnittgerade.
Gruß Werner
