Hermitesche Matrix Basis Einheitsvektor

Question

Aufgabe:

For each of the matrices below, check whether it is Hermitian or Unitary. If it is find the eigenvalues and
an orthonormal basis of eigenvectors of ℂⁿ

\( \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Die Matrix ist hermitesch. Als Eigenwerte habe ich 0 und 2.

Eigenvektoren:

für 0 habe ich: (-i,1)

für 2 habe ich: (i,1)

Teile ich nun einfach durch den Betrag von den Vektoren? Für 2 wäre das: (i,1)/√(i²+1²). Hierbei kommt null raus? Ist das Verfahren für hermetische und unitäre Matrizen gleich?

Comments

Die Länge berechnet sich nicht aus √(i²+1²), sondern aus √(|i|²+|1|²)=√2.

Answer 1

Für 2 wäre das: (i,1)/√(i2+12). Hierbei kommt null raus?

Nein, bei komplexen Vektoren musst du doch noch konjugieren

also bei ( i , 1  ) ist der Betrag  wurzel aus ( i*(-i) + 1*1 ) = wurzel(2)

Comments

verstehe. Aber sowohl bei Hermitesche als auch bei unitären Matrizen kann ich das einfach tun, ohne Gram-Schmidt etc?

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Wenn die schon orthogonal sind, brauchst kein Gram-Schmidt mehr,

dann musst du ja nur noch normieren.