Zu 1)
Wenn \( AB \) hermitisch ist, gilt \( \overline{AB} = (AB)^t = B^t A^t = \overline{B A} \) also \( AB = BA \)
Wenn \( AB = BA \) gilt folgt \( (AB)^t = (BA)^t = A^t B^t = \overline{AB} \) also \( AB \) hermitisch
Zu 2)
\( x = \begin{pmatrix} 1\\1\\i \end{pmatrix} \) und \( \ y = \begin{pmatrix} -1\\-i\\1 \end{pmatrix} \), dann folgt
\( v_1 = x \)
\( v_2 = y - \frac{ <x,y>}{<x,x>} x = \begin{pmatrix} 0\\1-i\\1+i \end{pmatrix} \)
und \( < v_1, v_2 > = 0 \)
zu 3)
Zeige das \( A^* A = A A^* \) gilt mit \( A^* = \overline{A}^t \) und \( A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} \)
Die Eigenwerte kannst Du aus der Gleichung \( \det{A - \lambda E} = 0 \) bestimmen und bekommst dann
\( \lambda_{1,2} = i \pm 1 \)
Die Eigenvektoren ergebn sich durch lösen der Gleichung \( Av = \lambda v \) zu \( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) jetzt noch die Eigenvektoren auf 1 normieren ergibt die Orthonormalbasis.