f(x) = 8(x-1)/x^2. Wie bestimme ich den Berührpunkt B?

Question

Aufgabe: f(x) = 8(x-1)/x^2

Eine Tangente vom Ursprung an die Kurve zu f(x) berührt diese im Punkt B(u/f(u)).

Bestimme Sie die Koordinaten von B und die Gleichung der Tangente.

Bitte brauch Hilfe

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo Tim,

eine Tangente durch den Ursprung hat - wie jede lineare Funktion durch den Ursprung - die allgemeine Form $$t(x) = mx$$ Dort wo sich Tangente und Funktion berühren, ist \(t(x)= f(x)\) und \(f'(x)=m\) - folglich gilt dort $$f(x) = f'(x) x$$ Bestimme also zunächst die Ableitung von \(f(x)\) $$f'(x) = 8\frac{2-x}{x^3}$$ und setze das dann in obige Gleichung ein $$8 \frac{x-1}{x^2} = 8\frac{2-x}{x^3} \cdot x \\ \space \implies x -1 = 2 -x \\ \implies x = \frac 32$$ Und \(f(3/2) = 16/9\). Der Plot zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist ~plot~ 8(x-1)/x^2;{3/2|16/9};32x/27 ~plot~

Gruß Werner

Answer 2

Eine Tangente ...

Die Tangente t einer Funktion f an einer Stelle u hat folgende Eigenschaften:

1. Sie hat an der Stelle u die gleiche Steigung wie f, also
   

   t'(u) = f'(u).
   

2. Sie hat an der Stelle u den gleichen Funktionswert wie f, also
   

   t(u) = f(u).
   

vom Ursprung ...

Das heißt sie hat im Allgemeinen die Funktionsgleichung

        t(x) = mx,

also ist

        t'(x) = m

und somit

(1)        t'(u) = m.

Außerdem ist

(2)        t(u) = mu.

Setze (1) und (2) in die in den Punkten 1. und 2. genannten Gleichungen ein und löse das Gleichungssystem.

Answer 3

Eine Tangente vom Ursprung an die Kurve zu f(x) berührt diese im Punkt B(u/f(u)).

Die Steigung der Strecke  von (0,0) nach B(u/f(u)) ist  einerseits  f ' (u)

andererseits (Steigungsdreieck)   f(u) / u .

Also        f(u) / u   =   f ' (u)

       8(u-1)/u^3 =  -8(u-2) / u^3

<=>   u-1 = - (u-2)

<=>  2u = 3

<=>  u=1,5    Passt:

~plot~ 8*(x-1)/x^2;32*x/27 ~plot~