Wie geht ihr vor, wenn ihr das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen sollt?

Question

ich hatte da eine kurze Frage an euch und zwar, wir haben bis jetzt im Allgemeinen das Thema ganzrationale Funktionen, ohne Ableiten & co., und wir sollen bei der kommenden Klausur das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen. Wir haben das ohne Ableiten gemacht. So, meine Frage an euch: wenn ihr das MV bestimmen sollt, ohne Ableiten und ohne vorgegebene Abbildung, zeichnet ihr dann den Graphen und bestimmt so das Verhalten oder wie lautet eure Vorgehensweise? Danke für die Mithilfe im Voraus!

Answer 1

Naja. Gründsätzlich brauchst du nur Hoch und Tiefpunkte ermitteln.

Es ist zwar Zweckmäßig dafür die Ableitung zu nutzen. Es geht aber z.B. auch bei Parabeln über den Scheitelpunkt. Und den hat man auch schon immer ohne Ableitung ermittelt.

Aber generell ist es hilfreich die Funktion abzuleiten.

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Die Differentialrechnung haben wir bisher nicht drangenommen ergo ich weiß nicht wie man durch das Ableiten einer Funktion auf das Monotonieverhalten stößt. Angenommen, ich soll dies dennoch bestimmen, soll ich dann die Funktion einfach zeichnen? Hättest du zudem für mich ein Beispiel einer Funktion, die nur monoton steigend/fallend ist?

Danke für deine Hilfe.

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Lineare Funktionen

f(x) = mx + b mit m ≠ 0 sind streng monoton fallend (m < 0) oder streng monoton steigend (m > 0)

Quadratische Funktionen

f(x) = ax^2 + bx + c = a·(x + b/(2·a))^2 + c - b^2/(4·a)

z.B. für a > 0 und x > -b/(2·a) streng monoton steigend

Kubische Funktionen

f(x) = ax^3

für a > 0 auch streng monoton steigend.

Solltest du Probleme bei einer Aufgabe haben kannst du die aber auch hier gerne stellen.

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Der Graph x^4 - 8x² - 9 hat zwei Tiefpunkte und zwar: (-2 | -25) und (2 | -25) und laut definition von "monoton steigend" (ich meine NICHT streng monoton) ist der im intervall monoton steigend wenn es für x werte dieselben y werte gibt, ist dieser graph also in dem intervell monotong steigend?

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Der graph von f(x) = x^4 - 8x^2 - 9 ist im Intervall

]∞ ; -2] streng monoton fallend

[-2 ; 0] streng monoton steigend

[0 ; 2] streng monoton fallend

[2 ; ∞[ streng monoton steigend

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Vielen Dank für deine intensive Hilfe, aber was ist mit den Tiefpunkten, zwei x-Werte haben denselben y-Wert nämlich -25; ist das nicht laut Definition monoton steigend/fallend?

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Nur wenn dazwischen auch alle y-Werte -25 wären.

Das mit monoton fallend/steigend kannst du bei Polynomen vergessen. Polynome haben in einem Intervall nie dieselben Funktionswerte.

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Du meinst alle x-Werte -25 wären oder?

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nein. es kann nur ein x Wert -25 sein.

Answer 2

Es kommt natürlich auchauf den Grad ganzrationalen Funktion an:

Grad 1 überallsteigen oder überall fallend

Grad 2: Koeffizient der höchsten Potenz positiv: bis zum Scheitelpunkt fallend danach steigend.Sonst umgekehrt.

Grad >2. Ohne Differentialrechnung vielleicht noch, nachdem der Graph (minestens aber Hoch- und Tiefpunkte) bekannt ist (sind). Ist für x₁<x₂ f(x₁)<f(x₂) so steigt der Graph. Ist für x₁<x₂ f(x₁)>f(x₂) so fällt der Graph

Comments

Hast Du vielleicht Beispiele für nur monoton steigende/fallende Funktionen und wo setzt du den Unterschied zwischen einer streng monoton und monoton steigend/fallenden Funktionen?

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Monotone Funktionen dürfen streckenweise konstant sein, streng monotone nicht.

Answer 3

Das Monotonieverhalten ändert sich nur an Extrempunkten. Bestimme also die Extremstellen.

wenn ihr das MV bestimmen sollt, ohne Ableiten

Das ist nur in sehr eingeschränkten Fällen möglich.

Wenn die Funktion durch Transformation aus einer Potenzfunktion  hervorgegangen ist:

        f(x) = -(x+2)⁴ + 3 hat einen einzigen Hochpunkt bei (-2 | 3).

        g(x) = 1/4(3x - 2)⁵ + 1 hat keine Extremstellen.

Wenn die Funktion in Nullstellenform vorliegt:

        f(x) = (x-1)²·(x+3)² hat Tiefpunkte bei (1 | 0) und bei (-3 | 0). Wegen Symmetrie hat sie auch einen Hochpunkt bei (-1 | f(-1)).

        g(x) = (x-1)²·x hat einen Tiefpunkt bei (1 | 0) und einen Hochpunkt für den man Ableitungen bräuchte.