Berechnen Sie den Aufprallpunkt des Balls. An welcher Stelle ändert sich das Monotonieverhalten der Flugbahn?

Question

Das Thema ist ganzrationale Funktionen.

Beim Fußballtraining wird ein Freistoß ausgeführt. Die Abwehrmauer steht zehn Meter vom Ausführenden entfernt. Wird der Abstoßpunkt als Koordinatenursprung aufgefasst, so lässt sich die Flugbahn des Balls durch die Funktion f mit der Gleichung f(x) = -0,0004 x³ + 0,3x beschreiben.

Dabei entspricht eine Einheit stets einem Meter.

a) Zeichnen Sie den Graphen der angegebenen Funktion.

b) Berechnen Sie den Aufprallpunkt des Balls.

c) An welcher Stelle ändert sich das Monotonieverhalten der Flugbahn?

d) Könnte der Ball den Abwehrspieler am Kopf treffen?

e) Der Ball überfliegt die Torlinie in 1,50 m Höhe. Tragen Sie das Tor in das Koordinatensystem ein.

Answer 1

Hallo

zu 21 e) gesucht x für   f(x) = 1.5

0.0004 x^3 +0.3 x = 1.5

4 (x/10)^3 +10*3 (x/10) = 15

(x/5)^3 +30 (x/5) -30 = 0

linearer Koeffizient ist positiv => sinh verwenden

z^3 +a1 z +a0 = 0   und a1 > 0

z = 2 * (a1/3)^0.5 *sinh 1/3 arsinh -a0/2 * ( (3/a1)^3 )^0.5

x/5 = 2* (30/3)^0.5 * sinh 1/3 arsinh +30/2 * ( (3/30)^3 )^0.5

x/5 = 2* 10^0.5 * sinh 1/3 arsinh +15 * (1/1000)^0.5

x = 10 *10^0.5 * sinh 1/3 0.458145365 = 4.84806941

Probe : 0.0004 x^3 +0.3 x = 1.5

Tor-Koordinaten  T (4.848 ; 1.5)

Comments

sorry, Funktion lautet scheinbar f(x) = -0,0004 x^3 +0,3x (Minus vor kubischem Glied)
Also: -0,0004 x^3 +0,3 x = 1,5 => 0,0004 x^3 -0,3 x +1,5 =  0
=> a1 < 0 (linearer Koeffizient < 0) => cos bzw. cosh verwenden
(x/5)³ -30 (x/5) +30 = 0
c3 = -30/2*( (-3/30)^3 )^0.5 = -15/(1000)^0.5
|c3| < 1 => cos verwenden => 3 Lösungen
z = 2 * (-a1/3)^0,5 * cos (  j*120° + 1/3 arccos -a0/2 * ( (-3/a1)³ )^0,5  )  für j = 0..2
z1 = x1/5 = 2 * 10^0,5 * cos ( 0 + 1/3 arccos -15/1000^0.5 )
z2 = x2/5 = 2 * 10^0,5 * cos ( 120° + 1/3 arccos -15/1000^0.5 )
z2 = x2/5 = 2 * 10^0,5 * cos ( 240° + 1/3 arccos -15/1000^0.5 )
x1 = 1000^0,5 * cos 1/3 * 118,3164935° = 1000^0,5 * cos 39,43883117 = +24,42237216
x2 = 1000^0,5 * cos 159,43883117° = -29,60833537
x3 = 1000^0,5 * cos 279,43883117° = +5,185963209
Probe: -0,0004 x1^3 +0,3 x1 = 1,5
-0,0004 x2^3 +0,3 x2 = 1,5
-0,0004 x3^3 +0,3 x3 = 1,5
In Frage kommende Tor-Koordinaten: T1 (24.4224; 1.5)   T3 (5.1860; 1.5)

Answer 2

a) solltest du hinbekommen, Wertetabelle, Achsen Zeichnen, Punkte eintragen, fertig

b) Der Ball startet logischerweise auf dem Boden und wenn er irgendwann wieder aufprallt befindet er sich ebenfalls am Boden. Da f(x) die Höhe des Balls angibt, ist nach den Nullpunkten gefragt. Dazu f(x)=0 stezen und  die x bestimmen, an denen das der Fall ist. Ein x ist der Startpunkt, das andere der Aufprallpunkt. Du bekommst auch noch einen negativen x-Wert heraus. Aber den kannst du auschließen, weil der Ball ja nach vorne geschossen wird und nicht nach hinten.

c) Monotonie sagt etwas über das Steigungsverhalten einer Kurve aus. Wenn die Kurve in einem Bereich immer steigt, ist sie in dem Bereich monoton steigend, wenn sie in einem Bereich die ganze Zeit fällt, ist sie monoton fallend.

Wenn gilt f(x₁) < f(x₂) mit x1<x2 ist die Kurve streng monoton steigend, für f(x₁) > f(x₂) mit x1<x2 ist sie streng monoton fallend

Deine Kurve steigt zuerst und fällt dann wieder ab. Ist also zuerst monoton steigend und dann fallend. Dort wo die Monotonie sich ändert ist der Hochpunkt der Funktion. Der ist hier gefragt. Ableitung bilden und null setzen

d) die Größe des Spielers ist nicht angegeben. Die Mauer steht 10 Meter weit entfernt. Also einfach mal ausrechenen, welche Höhe der Ball nach 10m noch hat. Wenn er sich unter 1,80m Höhe befindet ist die Wahrscheinlichkeit sehr hoch, dass er einen Spieler trifft.

e) Ausrechenen für welches x die Höhe f(x) = 1,5 herauskommt

Comments

Das Problem ist,dass wir die Ableitungen noch gar nicht hatten

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WIe bestimmt ihr denn Hochpunkte von solchen Funktionen in der Schule?

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Wir haben das nur anhand von Graphen gemacht

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Und wie habt ihr das da genau gemacht?

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Wie haben den hoch und den Tiefpunkten von Graphen abgelesen

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Zeichne den Graphen mal auf. Der HP ist aber nicht ganzzahlig.