Wie löst man diese Aufgabe Quadratische Funktionen mit Flächeninhalt

Question

Ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme und unbedingt Hilfe brauche, da ich morgen eine Prüfung habe.

Die beiden Funktionen f(x)=−1/2 x^2 + 2x + 5/2 und fg(x) = a⋅x + 5/2 sind gegeben. Berechnen Sie a so, dass das Viereck ABCD eine Fläche von 55/4 Einheiten hat. (A(0,0), B ist die grössere Nullstelle von p, p ∩ g={C,D})

Comments

Kann es sein, dass du fg(x) anstatt g(x) abgetippt hast, und p anstatt f?

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Nein, es sollte alles so richtig sein.

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Fg (x) ist einfach die Gerade.

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und was ist dann p?

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Das ist die Parabel.

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Ja du hast recht, ich hätte es besser bezeichnen sollen. p(x) ist die erste Funktion und g(x) ist die zweite.

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Also ist p dasselbe wie f. Und was ist g, wenn du sagst fg(x) und nicht g(x)?

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Tut mir leid, dass ich dich verwirrt habe.

p ist: −1/2 x^2 + 2x + 5/2

g ist:  a⋅x + 5/2

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Ist dir klar, dass die Aufgabe etwa so aussieht?

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Genau, so hatte mein Lehrer das auch gezeigt, aber wie löse ich die jetzt?

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ich würde es als Summe von drei Flächen ausrechnen, ein Dreieck, ein Viereck und nochmals ein Dreieck. Die Koordinaten von C sind abhängig von a.

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Kannst du mir das bitte genauer erklären mit Weg, ich verstehe es noch nicht.

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Bei Punkt C gilt weil Schnittpunkt: −1/2 x^2 + 2x + 5/2 = ax + 5/2

d.h. x = 4 - 2a

und y = ax + 5/2 = 4a - 2a^2 + 5/2

Fläche 1 = 1/2 * Grundlinie * Höhe = 1/2 * (4 - 2a) * (4a - 2a^2 + 5/2 - (AD = 5/2))

Fläche 2 = Grundlinie * Höhe = (4 - 2a) * 5/2

Fläche 3 = 1/2 * Grundline * Höhe = 1/2 * ((AB = 5) - (4 - 2a)) * (4a - 2a^2 + 5/2)

Addiere die drei Flächen, setze das gleich 55/4, und löse nach a auf.

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und y = ax + 5/2 = 4a - 2a2 + 5/2 Da komme ich noch nicht draus..

wenn ich das in meinem Rechner mache, dann bekomme ich das für y: -(4a^2-8*a-5)/2

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Den rechten Teil der Gleichung erhältst Du, indem Du das was auf der Zeile darüber nach "d.h." steht, für x in den linken Teil einsetzt.

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(AD = 5/2)) Wie muss ich das eingeben?

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Als 5/2. Das AD steht, damit Du siehst woher die Zahl kommt.

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Ich komme für a auf -0.746, was nicht der Lösung entspricht.

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Wenn ich das nach a auflöse, bekomme ich etwas anders.

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Was bekommst du denn?

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Ich denke es gibt zwei Lösungen für a, bei denen der gesuchte Flächeninhalt erreicht wird.

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Wie gibst du es denn ein, vielleicht gebe ich das ganze falsch ein.

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Ich habe es geschafft. Ich habe immer etwas falsch eingegeben gehabt. Die Lösungen für a sind: 1/2 und 1

Ich danke dir für deine Geduld und wünsche dir einen schönen Abend/Nacht.

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Ich kann deine Lösungen bestätigen. Ich habe die Fläche 1 und 2 zu einem Trapez zusammengefasst.

Answer 1

1/2·(5/2 + p(x))·x + 1/2·(5 - x)·p(x) = 55/4 --> x = 3 ∨ x = 2

g(2) = p(2) → a = 1

g(3) = p(3) --> a = 0.5

Comments

Hallo Mathecoach

Ich habe noch eine kurze Frage.

döschwo hat ja eine Grafik gemacht, aber bei der Grafik kennt man die Steigung der Gerade gar nicht, wie weiss man dann, dass man diese und diese Flächen addieren muss?

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Bestimme einfach die x-Koordinate von Punkt C so, dass die entstehenden Flächen 55/4 FE groß sind. Dazu brauchst du noch nicht die Steigung zu kennen. Hast du erstmal den Punkt C bestimme ich im Nachhinein die Steigung so, dass die Gerade auch durch Punkt C geht.

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Wie macht man sowas?

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Wenn ich zum Beispiel morgen genau so eine Aufgabe habe, dann bestimme ich zuerst die Koordinaten und die Schnittpunkte, wie ich schon gemacht habe. Aber was tut man dann als nächstes. Wie bestimmt man c?

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Ich habe die Bedingung in meiner Antwort notiert. Man löst die Gleichung

1/2·(5/2 + p(x))·x + 1/2·(5 - x)·p(x) = 55/4

einfach nach x auf. Damit hat man die x-Koordinate von Punkt C. Mögliche Ergebnisse waren x = 2 und x = 3.

Danach bestimmen wir a der linearen Funktion so, dass die lineare Funktion durch den Punkt C geht. Auch die Bedingungen entnimmst du meiner Antwort.

Je nach Rechnerausstattung, kannst du die Bedingungen so in den Taschenrechner eingeben und dir das Ergebnis anzeigen lassen.

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Wie kommt man aber auf diese Gleichung?

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Trapezfläche

A1 = 1/2·(5/2 + p(x))·x

Dreiecksfläche

A2 = 1/2·(5 - x)·p(x)

Summe der Flächen = 55/4

A1 + A2 = 55/4

1/2·(5/2 + p(x))·x + 1/2·(5 - x)·p(x) = 55/4

Du kannst natürlich auch das Trapez in ein Rechteck und Dreieck zerlegen, wenn du die Trapezformel nicht mehr kennst.

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Es tut mir leid, dass ich so blöd frage, ich habe einfach morgen eine wichtige Prüfung und muss bestehen.

Ich habe verstanden, dass das Flächen sind, die Frage ist eben, wie kommt man darauf, dass das eine Trapezfläche ist und eine Dreiecksfläche. Dafür muss man ja wissen, wo der Punkt C ist, damit man diese Flächen bilden kann..

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Nein. Dafür braucht man C nicht kennen.

Male dir einfach mal 3 verschiedene Positionen von C ein und male dazu jeweils das Trapez und das Dreieck.

Das ist auch morgen für die Arbeit wichtig, dass du dir das versuchst vorzustellen indem du eventuell auch mehrere mögliche Positionen mal skizzierst.

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Oki, ich werde es jetzt probieren.

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Die Fläche ist immer die gleiche, egal wo ich a hinschiebe auf dieser Parabel?!

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Je weiter unten a bei der Parabel ist, desto kleiner wird das Dreieck, aber dafür wird die Fläche des Trapez grösser und somit ist es immer noch gleich. Hmm.. kann diese Aussage wahrlich stimmen?

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Das sieht so aus

https://www.geogebra.org/graphing/xscex8ze

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Also stimmt meine Aussage?

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Schau es dir mal bei Geogebra an. Du wirst sehen dass sich die Fläche doch ändert je nachdem wie du die Flächen aufteilst. Ansonsten würde es rechnerisch auch nicht nur 2 Lösungen geben.

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Die beiden Figuren müssen einfach zusammen 55/4 geben und dadurch weiss man dann, welche Steigung a hat.

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und dadurch weiss man dann, welche Steigung a hat.

Ich weiß ich meiner Rechnung dann nur wo die x-Koordinate von C sein muss. Das a bei Geogebra steht nur für die x-Koordinate und nicht für die Steigung.

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Ja stimmt, es ändert sich wirklich. Gut, ich glaube, dass ich das jetzt endlich verstanden habe. Jetzt kommen wir noch zum rechnerischen.

Die Trapezfläche berechnet sich doch mit: 1/2(a+c)*h

Was ist hier a und was ist c und was ist h ? A1 = 1/2·(5/2 + p(x))·x

Weil ich habe noch nicht so den Überblick mit so viel Funktionstermen usw hier in der Rechnung. x ist doch nicht die Höhe, oder?

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a = 5/2

c = p(x)

h = x

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Wieso ist a 5/2? Das ist doch y? Und wie kann man die Seite c einfach p(x) nennen? Ich verstehe das irgendwie nicht so ganz...

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Schau dir das Trapez an, dann weißt du es. Es ist die Länge der linken senkrechten Seite.

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Aha, du schaust dir das Trapez von dieser Seite aus an.. ich habe gemeint, dass man das Trapez von x aus anschauen sollte.

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Ahh jetzt verstehe ich auch, wieso c p(x) ist, da die Parabel die Seitenlänge bestimmt....

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a und c sind in der Formel des Trapezes die beiden parallelen Seiten. Damit ist klar das du die Länge der beiden Senkrechten nehmen musst, denn nur die sind immer parallel.

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Du hast vollkommen recht, ich bin ein richtiger Idiot.

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Stimmt diese Aussage: Ahh jetzt verstehe ich auch, wieso c p(x) ist, da die Parabel die Seitenlänge bestimmt....

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Ja. p(x) ist die länge der rechten Senkrechten vom Trapez und damit die Länge der zweiten parallelen Seite.

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Somit ist dann auch logisch, dass x die Höhe ist...

Hätte ich das am Anfang gewusst, dann hätte ich nicht so ein langes Gesicht gemacht. :D

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Jetzt kann ich ganz gespannt sagen:

Trapezfläche + Dreiecksfläche

Trapezfläche: 1/2 * (a+c) * h => 1/2 * ( 5/2 + p(x) ) *  x

Dreiecksfläche: 1/2 * Grundseite * Höhe => 1/2 * (5 - x) * p(x)

Lösung: 55/4 = [ 1/2 * ( 5/2 + p(x) ) *  x ] + [ 1/2 * (5 - x) * p(x) ]

x = 2, 3

solve (f1(2)=f2(2),a) => a = 1

solve (f1(3)=f2(3),a) => a = 1/2

Ich danke dir so sehr, du bist der beste! Du rettest mich vor einer Tragödie. Ich liebe dich!