Kartesische Produkt der Mengen M1={1} und M2={a}

Question

Aufgabe zum kartesischen Produkt:

Bestimmen Sie das kartesische Produkt \( P \) der Mengen \( M_{1}=\{1\} \) und \( M_{2}=\{a\} \).

Meine Antwort \( P=\{(1, a):(a, 1)\} \) war leider falsch.

Was wäre hier die Lösung und wie kommt man darauf?

Answer 1

\(M_1\times M_2=\{(1, a)\}\)

\(M_2\times M_1=\{(a, 1)\}\)

Comments

Oje, also is hier die Antwort lediglich

P={(1,a)} ?

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Wenn man das kartesische Produkt in dieser Reihenfolge bilden soll, dann ja.

Answer 2

Du kannst dir das kartesische Produkt ähnliche wie das Ausmultiplizieren von Klammern vorstellen. Wenn dann z.B. $$M_1 = \{a,b,c\}, M_2 = \{d,e\}$$, dann kannst du dir das denken wie (a+b+c)*(d+e). Das gibt dann a*d + a*e + b*d + b*e + c*d + c*e. Die Elemente des kartesischen Produktes $$M_1 x M_2$$ wären dann (a,d), (a,e), (b,d), (b,e), (c,d), (c,e).

Aber vorsicht: Das kartesische Produkt ist nicht kommutativ. Es ist zwar (a+b+c)*(d+e) = (d+e)*(a+b+c), aber $$M_1 x M_2 \neq M_2 x M_1$$. Das liegt daran, dass die Elemente des kartesischen Produktes, also (a,b), (c,d), ... geordnete Paare sind. Das heisst: $$(a,b) \neq (b,a)$$. Daher wäre $$M_1 x M_2 = \{(a,d), (a,e), (b,d), (b,e), (c,d), (c,e)\}$$ aber $$M_2 x M_1 = \{d,a), (d,b), (d,c), (e,a), (e,b), (e,c)$$.