Berechne den Grenzwert für x to inf wenn existent

Question

Aufgabe:

x*(1-sqrt((1-(a/x))*(1-(b/x))))

Problem/Ansatz:

Habe leider nur heraus gefunden das der Grenzwert (a+b)/2 ist aber habe keinen Ansatz bzw. verwendete Sätze

Answer 1

Falls die Aufgabe so lautet:

$$\lim _ { x \rightarrow \infty } x \left( 1 - \sqrt { \left( 1 - \frac { a } { x } \right) \left( 1 - \frac { b } { x } \right) } \right) = \frac { a + b } { 2 }$$

sehe ich 2 Möglichkeiten:

1. Schreibe um für die L'Hospital Regel: Du hast "0/0"

= lim (x->∞)  (1 -√ (.......) )/( 1/x)

2. Multipliziere Zähler und Nenner mit:

( 1 +√ (.....))/  ( 1 +√ (.....))

Comments

Ja danke habe es mal kurz gerechnet und geschickt umgeformt so dass es gegen besagten Grenzwert konvergierte ..war eigentlich einfach ..jetzt muss ich noch den cauchyschen Grenzwertsatz beweisen ...aber mit Wikipedia u a wird es gehen

Answer 2

Ein anderer Weg ist die Umschreibung der Funktion als unendliche Reihe:

f(x)= (a + b)/2 + (a - b)^2/(8 x) + ((a - b)^2 (a + b))/(16 x^2) + ((a - b)^2 (5 a^2 + 6 a b + 5 b^2))/(128 x^3) +...

Wenn x gegen Unendlich läuft, werden alle bis auf das erste Glied zu 0.

{Konstante / x^n mit n >= 1 geht immer gegen 0 }