Paradoxon von Polya: Wir betrachten die Aussage: P(n): "n beliebige Mädchen besitzen die gleiche Augenfarbe.“

Question

Aufgabe 2 [Paradoxon von Polya1] Wir betrachten die Aussage:

P(n): ”n beliebige Mädchen besitzen die gleiche Augenfarbe.“

Die Aussage P(1) ist offensichtlich wahr. Wir betrachten die Menge {a, b, c, d} bestehend aus 4 beliebigen Mädchen a, b, c, d. Falls P(3) wahr ist, dann besitzen die Mädchen a, b, c und die Madchen b, c, d die gleiche Augenfarbe. Es folgt daraus, dass alle vier Mädchen die gleiche Augenfarbe besitzen. Der Schritt von P(4) nach P(5) ist analog.

Es ist jedoch klar, dass P(n) nicht immer wahr ist. Erklären Sie dieses Paradoxon.

Comments

Auf eine ähnliche Frage habe ich hier schonmal geantwortet: https://www.mathelounge.de/56851/fehler-im-induktionsbeweis-finden#a56930

Eigentlich ist es genau das selbe.

Answer 1

Verankerung mit n=1 genügt bei diesen Aussagen nicht für den Induktionsschritt von 1 nach 2.

Alle einelementigen Mengen haben die gleiche Augenfarbe. ok - kann ja mathematisch noch sein.

Aber, wenn man von 1 nach 2 schliessen will, kann man nicht damit argumentieren, dass die Mädchen in den (2-1)-elementigen = 1-elementigen Mengen die gleiche Augenfarbe besitzen.

Answer 2

Nach vollständiger Induktion zeigst du das es für 1 gilt.
Jetzt musst du folgern das wenn es für n gilt es auch für n=1 gilt. Du darfst aber nicht fordern das es für n=3 gilt, weil das hast du bisher nicht bewiesen. Also man darf es nicht für ein spezielles n zeigen. Denn für n=2 würde es z.B. nicht funktionioeren.