a) Nein, eine solche Funktion gibt es nicht, der Beweis ist sehr klassisch. o.B.d.A. ist f monoton steigend.
Schau dir die Menge \(N := \{x\in\mathbb{R}\mid f(x) < 0\}\) an. Diese Menge ist offensichtlich nach oben beschränkt (da die Funktion monoton ist und irgendwann nur noch positive irrationale Zahlen getroffen werden). Wir machen jetzt eine Fallunterscheidung, wohin \(\sup N\) geschickt wird.
Fall 1: \(f(\sup N) < 0\). Dann wird aber kein Wert zwischen \(f(\sup N)\) und 0 getroffen (da f monoton steigend ist und ein x, das zwischen diese beiden Werte geschickt wird, in \(N\) liegen muss aber gleichzeitig streng größer als \(\sup N\) ist). Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass das Bild genau ALLE irrationalen Zahlen beträgt.
Fall 2: \(f(\sup N) > 0\). Dann wird aber kein Wert zwischen 0 und \(f(\sup N)\) getroffen (alle Zahlen unter \(\sup N\) werden geschickt auf Werte unter 0 und alle Zahlen über \(\sup N\) werden auf Werte über \(f(\sup n)\) geschickt), was ebenfalls ein Widerspruch ist.
Zu der b) mach dir mal Gedanken darüber, wie abgeschlossene Mengen aussehen. Sie enthalten alle ihre Randpunkte, das ist schonmal ein Anfang. Tip: Mach dir Gedanken über die Zusammenhangskomponenten in A und ob man sie zählen kann.
LG
