Auf steigende und fallende Monotonie untersuchen: f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 5

Question

kann mir jemand genau beschreiben wie man das macht? Und wie stellt man bei einer kubischen Funktion die Beschränktheit fest?

Answer 1

f ' (x) = 3x² -8x + 1 = 0   gibt x=(4 + √13)/3   oder x =(4 - √13)/3 

Also ist f ' (x) > 0 für  x < (4 - √13)/3   und  für  x > (4 + √13)/3   und zwischen

den beiden ist es negativ.

Comments

und warum werden die Nullstellen der x Achse bei der ersten Ableitung gesucht?

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und was bedeuten die Klammern? Beide zeigen nach außen und ich verstehe nichts. Auch weiß ich nicht wie du auf diese Abschnitte gekommen bist

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f streng monoton über ]a,b[ wenn  f ' in dem Intervall negativ ist.

Der Wechsel von f ' von positiv nach negativ kann nur bei einer

Nullstelle stattfinden, da f ' stetig ist.

Also braucht man die Nullstellen  von f '  und schaut dann ob es davor bzw. dahinter

pos. oder neg. ist.

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]a,b[  ist das offene Intervall von a bis b.

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Gibt es ein Video dazu? Weil ich verstehe überhaupt nichts

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Schau mal dort

https://www.matheretter.de/wiki/monotonie-funktionen

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aber warum ist bei dir die Zahl auch offen? nach 1/3 verläuft sie doch fallend und kann nicht offen sein oder?

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und warum hast du die erste Ableitung gleich null gesetzt? Gibt es dazu kein Video?

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Die Ableitung gibt doch die Steigung an:

Also:  positive Ableitung bedeutet steigend

 negative fallend.  

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Nur eine Nachfrage für mein Verständnis. Könnte man nicht eigentlich auch die Extrempunkte mit zu den Intervallen nehmen ? Oder macht man das nicht weil der Wert 1/3 dann bei fallend und steigend dabei wäre?

Also könnte man nicht auch schreiben

] -∞ ; 1/3] streng monoton steigend

[1/3  ;  1] streng monoton fallend

[1 ; ∞[ streng monoton steigend

Achtung: Grenzen sind wohl nicht korrekt.

Ich erinnere mich da an das Beispiel aus Wikipedia wo steht, dass x^3 streng monoton steigend im Bereich ganz R ist.

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@mathef Vorschlag: 

f ' (x) = 3x² -8x + 1

@Mathecoach: Ja die Intervallgrenzen gehören zu den Intervallen, wenn der Lehrer/das Bundesland nichts anderes festgelegt hat. 

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ist nun die 1/3 inklusive oder offen?

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Oh ha, wieder mal verrechnet. Ich korrigiere.

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Kann das bitte jemand schritt für schritt rechnerisch darstellen?

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Bist du nicht in der Lage die quadratische Gleichung zu lösen ?

Notfalls abc-Formel anwenden und gut ist. Meist darfst du dazu sogar den TR benutzen.

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Du hast wohl immer noch nicht verstanden! Mir geht es um den Lösungsweg wie man es grundsätzlich löst!!

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Bei ganzrationalen Funktionen hast Du an Hoch und Tiefpunkten einen Monotoniewechsel. Damit sind nur die Extrempunkte auszurechnen. Das machst du mit der ersten Ableitung.

Also erste Ableitung gleich Null setzen und nach x auflösen. Dann noch schauen ob es auch wirklich ein Extrempunkt ist.

Das wäre das Grundsätzliche. Das Grundsätzliche ist ohne rechnung, weil wie du die erste Ableitung löst hängt dann von der ersten Ableitung ab.

Answer 2

Skizze:

~plot~ x^3 - 4x^2 + x + 5 ; x= (4-sqrt(13))/3; x=(4+ sqrt(13))/3;[[10]] ~plot~

Dich interessiert in welchen Intervallen die Kurve monoton steigt oder fällt. Ich habe dir die Intervallgrenzen eingezeichnet. Nun schaust du noch, wo es rauf und wo runtergeht.

Wie du unschwer erkennen kannst, ist die Funktion nicht beschränkt. Das wird in der Fragestellung zu 15 auch nicht thematisiert.

Zur Kontrolle der Intervallgrenzen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+-+4x%5E2+%2B+x+%2B+5

Comments

Ja ich meinte diese zwei hoch und tief punkte, wie kann man das ohne dem Rechner ausrechnen?

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So wie mathef das gemacht hat. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen und dabei keine Flüchtigkeitsfehler machen ;)

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Kannst du noch erklären warum man dort die Nullstellen sucht?

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Wie berechnet man denn Hoch- und Tiefpunkte von Graphen?

Was gilt für die Steigung in Hoch- und Tiefpunkten von Graphen von Polynomen?

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ja mit quadratische Funktion kenne ich das aber nicht mit kubische, weil die Ableitung davon nicht linear ist?

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Nein. Da musst du dann halt eine quadratische Gleichung lösen, statt einer linearen.

Hast du denn schon "Ableiten" gelernt oder gehst du noch über die Scheitelpunktform bei quadratischen Funktionen?

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nein ich kann schon ableiten weiß aber nicht warum das hier funktioniert

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Warum soll es denn nicht funktionieren?

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weil ich wissen muss warum?

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meine wie funktioniert das oder gibt es ein Video dazu?

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Schau dir mal dieses Video an, wenn du keine Unterlagen hast, die dir da helfen

 

https://www.matheretter.de/wiki/grafisches-ableiten

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danke das ist die grafische Version aber ich brauche die rechnerische und kann es nicht finden?

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Was jetzt?

mathef hat dir doch die ganze Rechnung schon hingeschrieben.

 Kannst du eine quadratische Gleichung nicht selbst auflösen?

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ich verstehe nicht wie man das grundsätzlich macht!!

Also ist f ' (x) > 0 für  x < (4 - √13)/3   und  für  x > (4 + √13)/3   und zwischen 

und was das zu bedeuten hat!

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Links von einem Hochpunkt steigt die Funktion und rechts davon fällt sie.

Bei einem Tiefpunkt ist das umgekehrt.

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Ich weiß wie das grafisch aussieht! Ich muss das rechnerisch können!

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Nachdem wir die x werte ermittelt haben muss ich was machen rechnerisch?

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Du musst zunächst f auf Extremstellen untersuchen. Wen du damit fertig bist, ist der Rest einfach.

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die extremstellen sind ja die beiden x werte nach der ersten Ableitung aber was muss ich dann machen?