Auf steigende und fallende Monotonie untersuchen: f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 5

Question 1

kann mir jemand genau beschreiben wie man das macht? Und wie stellt man bei einer kubischen Funktion die Beschränktheit fest?

Bild Mathematik

Question 2

f ' (x) = 3x² -8x + 1 = 0 gibt x=(4 + √13)/3 oder x =(4 - √13)/3

Also ist f ' (x) > 0 für x < (4 - √13)/3 und für x > (4 + √13)/3 und zwischen

den beiden ist es negativ.

Question 3

und warum werden die Nullstellen der x Achse bei der ersten Ableitung gesucht?

Question 4

und was bedeuten die Klammern? Beide zeigen nach außen und ich verstehe nichts. Auch weiß ich nicht wie du auf diese Abschnitte gekommen bist

Question 5

f streng monoton über ]a,b[ wenn f ' in dem Intervall negativ ist.

Der Wechsel von f ' von positiv nach negativ kann nur bei einer

Nullstelle stattfinden, da f ' stetig ist.

Also braucht man die Nullstellen von f ' und schaut dann ob es davor bzw. dahinter

pos. oder neg. ist.

Question 6

]a,b[ ist das offene Intervall von a bis b.

Question 7

Gibt es ein Video dazu? Weil ich verstehe überhaupt nichts

Question 8

Schau mal dort

https://www.matheretter.de/wiki/monotonie-funktionen

Question 9

aber warum ist bei dir die Zahl auch offen? nach 1/3 verläuft sie doch fallend und kann nicht offen sein oder?

Question 10

und warum hast du die erste Ableitung gleich null gesetzt? Gibt es dazu kein Video?

Question 11

Die Ableitung gibt doch die Steigung an:

Also: positive Ableitung bedeutet steigend

negative fallend.

Question 12

Nur eine Nachfrage für mein Verständnis. Könnte man nicht eigentlich auch die Extrempunkte mit zu den Intervallen nehmen ? Oder macht man das nicht weil der Wert 1/3 dann bei fallend und steigend dabei wäre?

Also könnte man nicht auch schreiben

] -∞ ; 1/3] streng monoton steigend

[1/3 ; 1] streng monoton fallend

[1 ; ∞[ streng monoton steigend

Achtung: Grenzen sind wohl nicht korrekt.

Ich erinnere mich da an das Beispiel aus Wikipedia wo steht, dass x^3 streng monoton steigend im Bereich ganz R ist.

Question 13

@mathef Vorschlag:

f ' (x) = 3x² -8x + 1

@Mathecoach: Ja die Intervallgrenzen gehören zu den Intervallen, wenn der Lehrer/das Bundesland nichts anderes festgelegt hat.

Question 14

ist nun die 1/3 inklusive oder offen?

Question 15

Oh ha, wieder mal verrechnet. Ich korrigiere.

Question 16

Kann das bitte jemand schritt für schritt rechnerisch darstellen?

Question 17

Bist du nicht in der Lage die quadratische Gleichung zu lösen ?

Notfalls abc-Formel anwenden und gut ist. Meist darfst du dazu sogar den TR benutzen.

Question 18

Du hast wohl immer noch nicht verstanden! Mir geht es um den Lösungsweg wie man es grundsätzlich löst!!

Question 19

Bei ganzrationalen Funktionen hast Du an Hoch und Tiefpunkten einen Monotoniewechsel. Damit sind nur die Extrempunkte auszurechnen. Das machst du mit der ersten Ableitung.

Also erste Ableitung gleich Null setzen und nach x auflösen. Dann noch schauen ob es auch wirklich ein Extrempunkt ist.

Das wäre das Grundsätzliche. Das Grundsätzliche ist ohne rechnung, weil wie du die erste Ableitung löst hängt dann von der ersten Ableitung ab.

Question 20

Skizze:

~plot~ x^3 - 4x^2 + x + 5 ; x= (4-sqrt(13))/3; x=(4+ sqrt(13))/3;[[10]] ~plot~

Dich interessiert in welchen Intervallen die Kurve monoton steigt oder fällt. Ich habe dir die Intervallgrenzen eingezeichnet. Nun schaust du noch, wo es rauf und wo runtergeht.

Wie du unschwer erkennen kannst, ist die Funktion nicht beschränkt. Das wird in der Fragestellung zu 15 auch nicht thematisiert.

Zur Kontrolle der Intervallgrenzen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+-+4x%5E2+%2B+x+%2B+5

Bild Mathematik

Question 21

Ja ich meinte diese zwei hoch und tief punkte, wie kann man das ohne dem Rechner ausrechnen?

Question 22

So wie mathef das gemacht hat. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen und dabei keine Flüchtigkeitsfehler machen ;)

Question 23

Kannst du noch erklären warum man dort die Nullstellen sucht?

Question 24

Wie berechnet man denn Hoch- und Tiefpunkte von Graphen?

Was gilt für die Steigung in Hoch- und Tiefpunkten von Graphen von Polynomen?

Question 25

ja mit quadratische Funktion kenne ich das aber nicht mit kubische, weil die Ableitung davon nicht linear ist?

Question 26

Nein. Da musst du dann halt eine quadratische Gleichung lösen, statt einer linearen.

Hast du denn schon "Ableiten" gelernt oder gehst du noch über die Scheitelpunktform bei quadratischen Funktionen?

Question 27

nein ich kann schon ableiten weiß aber nicht warum das hier funktioniert

Question 28

Warum soll es denn nicht funktionieren?

Question 29

weil ich wissen muss warum?

Question 30

meine wie funktioniert das oder gibt es ein Video dazu?

Question 31

Schau dir mal dieses Video an, wenn du keine Unterlagen hast, die dir da helfen

https://youtu.be/hQfUEl3k-jU

https://www.matheretter.de/wiki/grafisches-ableiten

Question 32

danke das ist die grafische Version aber ich brauche die rechnerische und kann es nicht finden?

Question 33

Was jetzt?

mathef hat dir doch die ganze Rechnung schon hingeschrieben.

Kannst du eine quadratische Gleichung nicht selbst auflösen?

Question 34

ich verstehe nicht wie man das grundsätzlich macht!!

Also ist f ' (x) > 0 für x < (4 - √13)/3 und für x > (4 + √13)/3 und zwischen

und was das zu bedeuten hat!

Question 35

Links von einem Hochpunkt steigt die Funktion und rechts davon fällt sie.

Bei einem Tiefpunkt ist das umgekehrt.

Question 36

Ich weiß wie das grafisch aussieht! Ich muss das rechnerisch können!

Question 37

Nachdem wir die x werte ermittelt haben muss ich was machen rechnerisch?

Question 38

Du musst zunächst f auf Extremstellen untersuchen. Wen du damit fertig bist, ist der Rest einfach.

Question 39

die extremstellen sind ja die beiden x werte nach der ersten Ableitung aber was muss ich dann machen?

Auf steigende und fallende Monotonie untersuchen: f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 5

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