Geometrie: Gleichheit von Streckenlängen

Question

Die gestrichelte Linie ist die Symmetrieachse eines Davidsterns. Ein zur Symmetrieachse symmetrisches Rechteck liegt – wie dargestellt – ganz im Inneren des Davidsterns. Eine Seite des Rechtecks oder ihre Verlängerung schneidet eine Seite eines der  beiden Dreiecke, aus denen der Sterns besteht in A. Zeigen Sie: Unabhängig von der Breite des Rechtecks sind die beiden fetten Strecken (AB) und (CD) gleichlang.

Answer 1

Stelle die Quadrate der Längen in Abhängigkeit der Länge der Dreiecksseiten a und der halben Rechtecksbreite x dar.

Benutze dazu einfach den Satz des Pythagoras:

Für die Dreieckshöhe gilt demnach h = √3/2·a

|CD|^2 = (2·√3/2·a)^2 + (2·x)^2 = 4·x^2 + 3·a^2

|AB|^2 = (a + a/2 + x)^2 + (√3/2·a/(a/2)·(a/2 - x))^2 = 4·x^2 + 3·a^2

Damit sind die Seitenlängen exakt gleich.

Comments

Ich hatte mir die Aufgabe nicht vorher angesehen weil ich nicht dachte das du eine Lösung brauchst. Ich dachte das wäre nur eine Aufgabe die du gut fandest und uns nicht vorenthalten wolltest.