Gleichheit zweier Terme Ableitungsterme zeigen (Divergenz)

Question

ich möchte zeigen, dass

\( \frac{d}{dx} \) (f₂g₃-f₃g₂) + \( \frac{d}{dy} \) (f₃g₁-f₁g₃) + \( \frac{d}{dz} \) (f₁g₂-f₂g₁)

und

g1*(\( \frac{df3}{dy} \) - \( \frac{df2}{dz} \)) + g2*(\( \frac{df1}{dz} \) - \( \frac{df3}{dx} \)) + g3*(\( \frac{df2}{dx} \) - \( \frac{df1}{dy} \)) - f1*(\( \frac{dg3}{dy} \) - \( \frac{dg2}{dz} \)) - f2*(\( \frac{dg1}{dz} \) - \( \frac{dg3}{dx} \)) - f3*(\( \frac{dg2}{dx} \) - \( \frac{dg1}{dy} \))

gleich sind. f und g sind jeweils stetig ableitbare Funktionen von und nach R³

Ich finde z.B. keine Möglichkeit im zweiten Term für -g2*\( \frac{df3}{dx} \) +g3*\( \frac{df2}{dx} \) zu \( \frac{d}{dx} \) (f2g3-f3g2) zusammenzufassen, sprich, warum ich g2 und g3 nun in die Ableitung ziehen kann.

Wie zeige ich die Gleichheit?

Comments

Du musst auf beiden Seiten jeweils alle Terme sammeln, die ein d/dx enthalten, alle Terme, die ein d/dy enthalten und alle Terme, die ein d/dz enthalten - und vergleichen

(Ich gehe davon aus, dass eigentlich partielle Ableitungen gemeint sind. Ich gehe davon aus, dass Du ein Produkt differenzieren kannst.)

---

Also bspw. g1 * \( \frac{df3}{dy} \)  ist das Produkt von g1 mit der partiellen Ableitung f3 nach dy

gesammelt hätte für x ja:

-g2* \( \frac{df3}{dx} \) + g3 * \( \frac{df2}{dx} \) + f2 * \( \frac{dg3}{dx} \) - f3 * \( \frac{dg2}{dx} \)

Wie fasse ich diese \( \frac{d}{dx} \) nun zusammen? Ich kann es ja nicht einfach herausheben, da ich ja beim ersten Term z.B nicht g2 nach dx ableite

---

Was Du hier aufgeschrieben hast, ist doch genau der 1. Term auf der "anderen" Seite.

---

Der erste Term auf der anderen Seite

\( \frac{d}{dx} \) (f2g3-f3g2)

ist die Ableitung von (f2g3-f3g2) nach x

Ich verstehe leider nicht, wie ich das aus -g2* \( \frac{df3}{dx} \) + g3 * \( \frac{df2}{dx} \) + f2 * \( \frac{dg3}{dx} \) - f3 * \( \frac{dg2}{dx} \) herleiten kann bzw. welche Terme ich warum zusammenfassen kann. Die Ableitungsterme sind ja alles verschiedene partielle Ableitungen (df3, df2, dg3, dg2)

---

Fang andersherum an. Der Term\(f_2(x,y,z) \cdot g_3(x,y,z) -f_3(x,y,z)\cdot g_2(x,y,z)\) ist nach x zu differenzieren. Wende zunächst die Summenregel für das Differenzieren an und dann die Produktregel. Was erhältst Du?

---

Ich verzichte hier kurz auf die schreibe (x,y,z):

\( \frac{df2}{dx} \) * g3 + f2 * \( \frac{dg3}{dx} \) - \( \frac{df3}{dx} \) * g2 - f3 *\( \frac{dg2}{dx} \)

Das stimmt nun mit der x-Sammlung von dem Kommentar oben überein. Interessant. Das heißt, die Terme sind gleich

Vielen Dank dazu.

Das heißt, hätte ich jetzt nicht so angefangen, sondern hätte den Term von oben, dann hätte ich erkennen müssen, dass dieser Term die Ableitung von \(f_2(x,y,z) \cdot g_3(x,y,z) -f_3(x,y,z)\cdot g_2(x,y,z)\) ist, richtig so?

---

"erkennen" hört sich für mich etwas komplex an. Es steht doch einfach so da?

Auf jeden Fall haben wir jetzt gesehen, dass beide Seiten gleich sind.

Answer 1

Aloha :)

Wende die Produktregel für den Nabla-Operator \(\vec\nabla=(\partial_x;\partial_y;\partial_z)^T\) an:$$\vec\nabla\cdot\left(\vec f\times\vec g\right)=\vec\nabla\cdot\left(\underline{\underline{\vec f}}\times\vec g\right)+\vec\nabla\cdot\left(\vec f\times\underline{\underline{\vec g}}\right)$$Die doppelt unterstrichene Funktion ist diejenige, auf die der Nabla-Operator wirken soll.

Nach Anwendung dieser Produktregel müssen die Terme nach den Rechenregeln der Vektorrechnung so umgeformt werden, dass der Nabla-Operator direkt vor der Funktion steht, auf die er wirken soll. Da es sich bei den Summanden um 2 Spatprodukte handelt, können wir sie zyklisch durchrotieren:$$\phantom{\vec\nabla\cdot\left(\vec f\times\vec g\right)}=\left(\vec\nabla\times\underline{\underline{\vec f}}\right)\cdot\vec g+\vec f\cdot\left(\underline{\underline{\vec g}}\times\vec\nabla\right)=\vec g\cdot\left(\vec\nabla\times\vec f\right)-\vec f\cdot\left(\vec\nabla\times\vec g\right)$$

Das kann man auch wie folgt schreiben:$$\operatorname{div}\left(\vec f\times\vec g\right)=\vec g\cdot\operatorname{rot}\vec f-\vec f\cdot\operatorname{rot}\vec g$$