Question

Seien V ein Vektorraum und g, h: V → V Projektionen. Zeigen Sie: g + h ist genau dann eine
Projektion, wenn g ◦ h = h ◦ g = 0.

und zwar sollen wir bis morgen folgende Aufgabe gelöst abgeben. Ich stehe aktuell aber wirklich auf dem Schlauch hier. Könnte mir bitte jemand behilflich sein?

Answer 1

Ich mach dir mal die Hinrichtung: Gelte \(g\circ h = h\circ f = 0\).

Wir haben zu zeigen, dass \(g+h\) eine Projektion ist, also \((g+h)\circ (g+h) = (g+h)\)

Es gilt aber: \((g+h)((g+h)(x)) = g((g+h)(x)) + h((g+h)(x)) = g(g(x)) + g(h(x)) + h(g(x)) + h(h(x)) \stackrel{\text{Annahme}}{=}g(g(x)) + h(h(x)) \stackrel{\text{Projektionen}}{=}g(x) + h(x) = (g+h)(x)\)

Die Rückrichtung ist ähnlich, das überlasse ich Dir.

Hier kannst du sogar noch etwas eleganter vorgehen. Du kannst per Hand zeigen, dass h in den Kern von g abbilden muss und umgekehrt (was ja genau gh = hg = 0 bedeutet), weil sonst g+h nicht mehr idempotent wäre.