A^T * B * A = Diagonalmatrix , A=?

Question

^INFOFRAGE:

gibt es - ähnlich wie bei der Diagonalisierung mit Hilfe der Eigenwerte von einer Matrix  B - ein Verfahren, um ggf. unter bestimmten Voraussetzungen für B - eine orthogonale Matrix X zu bestimmen mit

X^T * B * X  = Diagonalmatrix ?

Habe versucht, das zu recherchieren, bin aber nicht fündig geworden.

Präzisierung: Ich suche ggf. natürlich die Verfahrensbeschreibung :-) 

Gruß Wolfgang

Answer 1

Der Spektralsatz sagt: Das geht genau dann, wenn B normal ist (also insb. für alle symmetrischen Matrizen). Ein Verfahren für reelle symm. Matrizen findest du zum Beispiel hier

https://media.mathi.uni-heidelberg.de/mampf/medium/12/manuscript/original-c0a918ea98664ee6bc1c819f02f51bb8.pdf

Algorithmus 24.15 (Hauptachsentransformation)

Comments

Danke dir!

Sehe ich das richtig, dass bei

https://www.mathelounge.de/595228/eigenwerte-und-eigenvektoren

d)  eine solche Matrix P nicht existiert, weil nach a)  bereits feststeht, dass die Matrix A_x auch für x=1 den doppelten Eigenwert -2 hat?

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Nein, dass siehst du wohl falsch, die Matrix ist für x=1 normal, da sie ja sogar symmetrisch ist, du kannst also einfach das Verfahren oben im Skript anwenden.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe erhältst du dann

$$ P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt2 & 1/\sqrt6 & 1/\sqrt6 & 1/\sqrt6\\ 0 & 0 & 1/\sqrt2 & -1/\sqrt2\\ -1/\sqrt2 & 1/\sqrt6 & 1/\sqrt6 & 1/\sqrt6\\ 0 & -\sqrt{2/3} & 1/\sqrt6 & 1/\sqrt6 \end{pmatrix} $$

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Sorry, dass ich euch noch einmal belästigt habe :-(

Habe gestern Nacht aus

⎡ -1 - λ      1            1          1   ⎤         ⎡ r ⎤         ⎡ 0 ⎤
⎢    1        1 - λ        1          1   ⎥    •    ⎢ s ⎥   =   ⎢ 0 ⎥
⎢    1         1        -1 - λ        1   ⎥         ⎢ t ⎥         ⎢ 0 ⎥
⎣    1         1             1     -1 - λ ⎦         ⎣ u ⎦        ⎣ 0 ⎦

für λ= -2      r + t + u = 0  ∧  s = 0  erhalten.

War dann zu fortgeschrittener Stunde so blind, dass ich nicht mehr auf die Idee gekommen bin, eine zweite Koordinate 0 zu setzen.

Glaubte mich dann zu erinnern, dass in einem eurer Links für die EW ewas von λ_i ≠ λ_j  stand, habe "sicherheitshalber" schnell noch die Nachfrage abgeschickt und ging glücklich schlafen :-)

Nochmals vielen Dank euch beiden!

Answer 2

ja das geht, wenn die Eigenvektoren der Matrix eine Orthogonalbasis bilden.

Z.B bei symmetrischen Matrizen.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Matrix#Orthogonale_Diagonalisierbarkeit

Das Verfahren zur Berechnung unterscheidet sich hierbei nicht.

Comments

Danke dir!

Sehe ich das richtig, dass bei
https://www.mathelounge.de/595228/eigenwerte-und-eigenvektoren
d)  eine solche Matrix P nicht existiert, weil nach a)  bereits feststeht, dass die Matrix A_x auch für x=1 den doppelten Eigenwert -2 hat?

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Die Matrix ist unabhängig von x symmetrisch, daher lässt sich eine solche orthogonale Matrix P finden.

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vgl. meinen Kommentar bei EmNero.