Gleichung mit Sinus auflösen sin(20πnT) = sin(πn/5)

Question

ich glaube es ist im Grunde nicht schwer, ich stehe nur grade etwas auf dem Schlauch.

Aufgabe:

sin(20πnT) = sin(πn/5)   |sin^-1 

⇔ 20πnT =  (πn/5) mod(2πkn)

Problem/Ansatz:

In der Aufgabe geht es nur darum die Gleichung nach T aufzulösen, das ist eigentlich nicht schwer. Nur verstehe ich die obige Umwandlung nicht: ich nahm an das durch sin-1  einfach nur das sin auf jeder Seite verschwindet. Wieso kommt der mod-Teil auf der rechten Seite vor und nicht auf der linken? Und wie kam dieser zustande?

Comments

sin(20πnT) = sin(πn/5)  |sin-1

kann sein 20πnT =  πn/5
oder 20πnT = πn/5 - 2π

oder 20πnT =  πn/5 + 2π
aber auch noch vieles anderes, daher modulo neben der Gleichung
Sicher, dass da (modulo 2πnk) steht und dass da nicht noch ein Teil verloren gegangen ist?

Innerhalb einer Periode sollten da jeweils zwei Schnittstellen der beiden Kurven vorkommen. Bsp. n=1. https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(20πx)+%3D+sin(π%2F5)

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sin(20πnT) = sin(πn/5)  |sin^-1 

⇔ 20πnT =  (πn/5) mod(2πkn)

⇔20πnT = (πn/5) + 2πkn

⇔20T = 1/5 +2k

⇔T=1/100 +k/10

So geht die Gleichung weiter. Ich verstehe einfach nicht wieso rechts Vielfache von 2π draufgerrechnet werden, aber links nicht?

Dass das was mit der Periodizität zu tun hat, also das drauf addieren eines Vielfachen von 2π keinen Unterschied macht. Wieso aber gilt das nur für die rechte Seite und nicht für die Linke?

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T=1/100 +k/10

Das stimmt nicht. Ist vielleicht ein Teil der Lösungsmenge.

Aufgrund der Symmetrie sollten die Lösungen nicht alle den gleichen Abstand voneinander haben. Woher hast du diesen Lösungsweg?

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Hi,

das ist der Lösungsweg der Tutor des Lehrstuhls ausgegeben hat. Habe mir auch mal die Mitschriften der anderen Studenten angeschaut und im Grunde ist es überall gleich.

Ich habe mir noch ein paar Gedanken gemacht, undzwar ist ja der Sinus 2pi periodisch. Das heißt ich kann in jeden sinus +2pi *n packen ohne das Ergebnis zu verfälschen.

Wenn man also nun obige Gleichung hat : sin(20πnT) = sin(πn/5)

kann man die rechte Seite zu sin(20πnT) = sin(πn/5 + 2pi*n) erweitern und auch mit einem k vervielfachen: sin(20πnT) = sin(πn/5 + 2pi*n*k). Das wurde wohl einfach aus dem Grunde gemacht, um auf beiden Seiten durch 2pi*n teilen zu können. Mehr steckt da wohl nicht dahinter?

So kann man das ganze wie oben nach T auflösen.

Liege ich da richtig?

Answer 1

Aufgabe: sin(20πnT) = sin(πn/5)

Die erste Lösung ist ja T=1/100.

Weitere Lösungen sind dann: T=(5-n)/(100n) und T=-(n+5)/(100n).