Funktion zu Zerfallsprozess und Halbwertzeit bestimmen

Question

Aufgabe: Ein radioaktives Präparat  zerfällt so, dass die vorhandene Substanz nach jeweils 5  Tagen auf ein Drittel zurückgeht. Zu Beginn der Messung  sind 12 mg vorhanden.

Problem/Ansatz: Ich habe die folgende Formel im Buch zum Bestimmen der Halbwertzeit gefunden:

                             1/2 * a * b^x = a * b^x +s

                            Als Funktionsgleichung habe ich   y = 12 * 1/3 ^(1/5x)

Dass die Funktionsgleichung richtig ist, glaube ich nicht, da ich mit dieser Art Funktionsgleichung bisher Wachstumsprozesse beschrieben habe. Ich weiß aber auch nicht, wie die Funktionsgleichung tatsächlich lauten könnte und wäre für Hilfe dankbar.

Kristin

Answer 1

Als Funktionsgleichung habe ich  y = 12 * 1/3 ^(1/5x)

Das ist korrekt.

Setze y = 6 ein und löse nach x auf um die Halbwertzeit zu bestimmen.

Dass die Funktionsgleichung richtig ist, glaube ich nicht, da ich mit dieser Art Funktionsgleichung bisher Wachstumsprozesse beschrieben habe.

Die Formel ist für Fälle gedacht, in denen der Anteil, um den sich eine Größe ändert, in gloeichen Abständen gleich bleibt.

Beispiele:

        Ein Guthaben wächst jährlich auf das 1,05-fache

        Ein Auto verlieft jährlich 25% seines Wertes

Ob die Größe zunimmt oder abnimmt ist dabei nicht ausschlaggebend.

nach jeweils 5  Tagen auf ein Drittel zurückgeht

Das ist der Grund, warum du die Formel anwenden darfst. Würde das Präparat nach jeweils 5 Tagen um 3g abnehmen, dann müsstest du eine andere Formel anwenden.

Comments

Hallo Oswald,

erst einmal vielen Dank für Deine ausführliche Darstellung.

Also, wenn ich für y = 6 einsetze, ergibt sich für mich folgende Gleichung:

6 = 12 * 1/3 ^(1/5)x

6 = 12 * 0,8027x

6 = 9,63x

0,623 = x

Wenn das so überhaupt stimmt: Was ist dann 0,623 ?

Ich habe noch eine andere Rechnung, also die Anwendung der Formel:

1/2 * 12 * 1/3^(1/5x+s) = 12 * 1/3^(1/5x +s)

1/2 = 1/3^s

s = log1/3 (0,5)

s = 0,6309

Das ist auch nicht überzeugender, aber was ist hier falsch?

Vielen Dank

Kristin

Answer 2

Ein radioaktives Präparat  zerfällt so, dass die vorhandene Substanz nach jeweils 5  Tagen auf ein Drittel zurückgeht. Zu Beginn der Messung  sind 12 mg vorhanden.

Ich bevorzuge:

f(x) = 12·(1/3)^(x/5)

Es geht aber auch folgende Umformung:

f(x) = 12·((1/3)^(1/5))^x

f(x) = 12·(0.8027415617)^x

Oder sogar als e-Funktion

f(x) = 12·e^(LN(0.8027415617)·x)

f(x) = 12·e^(-0.2197224578·x)

Comments

Auf ein Drittel zurückgehen heißt, dass es um 2/3 abnehmen muss. 

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Die Halbwertszeit bekommst du über

(1/3)^(x/5) = 0.5

x/5 = LN(0.5) / LN(1/3)

x = 5 * LN(0.5) / LN(1/3) = 3.155 Tage

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@Gast2016

Das ist korrekt. Wo siehst du das Problem?

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Deiner Hilfe habe ich zu verdanken, dass ich die Funktionsgleichung überhaupt richtig aufstellen konnte. Du hattest kürzlich nämlich meine Frage nach dem Bakterienwachstum ("alle vier Tage verdreifacht sich der Wert") beantwortet, daher wusste ich, wie "...nach jeweils fünf Tagen geht der Wert auf ein Drittel zurück" in der Formel umzusetzen ist ;-)

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Der Abnahmefaktor müsste dann (2/3)^(x/5) sein.

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Der Abnahmefaktor müsste dann (2/3)^(x/5) sein.

Da solltest du nochmal drüber nachdenken. Mach mal ne Wertetabelle.

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Deiner Hilfe habe ich zu verdanken, dass ich die Funktionsgleichung überhaupt richtig aufstellen konnte.

@Kristin

Dann gratuliere ich mal dazu das du es so gut verstanden hast und richtig anwenden konntest.

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Du hast Recht. Denkfehler erkannt:  1/3 = a^5 ...

Schönes WE und Danke. :)

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vielen Dank für die Halbwertzeit-Rechnung. Das leuchtet ein :-)