Rechenregeln für Determinanten

Question

(a) Gegen seien die regulären matrizen A,B € R^(4×4) mit

A= \( \begin{pmatrix} +7 +3 +4 +1 \\ +0 +4 +9 +22\\ +0 +0 -1 +6\\ +0 +0 +0 +2 \end{pmatrix} \) , B= \( \begin{pmatrix} +3 +1 +4 +1 \\ +1 +0 -1 +4 \\ +0 +0 +2 -4 \\  +0 +0 +0  +2 \end{pmatrix} \)

Berechnen Sie detA, det B, det(A-B), det(1/4B) , det((B^(-1))^(3)A^(T)).

(b) sei v €  R^(n) mit n>=2. Bestimmen Sie det(vv^(T)).

(c) zeigen sie: ist A € R^(n×n) schiefsymmetrisch, so gilt det A = 0, falls n ungerade ist.

Ich denke die a bekomme ich vielleicht noch hin.

Aber b und c nicht.

Answer 1

So ähnliche Sachen sind ganz schön erklärt bei:

https://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/LinAlgInSS07/la11P.pdf

Bei A rechnest du nur:

det(A) = 7*4*(-1)*2 = -56

Bei B erst mal 2. Zeile minus 1/3* erste gibt

 \( \begin{pmatrix} +3\    +1 \ +4 \ +1 \\ 0 \ -1/3\ -7/3\ +11/3 \\ +0\ +0\ +2\ -4 \\  +0\ +0\ +0\ +2 \end{pmatrix} \)

und dann

det = 3*(-1/3)*2*2 = -4

A-B hat in der letzten Zeile nur 0en, also ist sie 0.

b)  Wenn v^T = (v1,v2,....,vn ) ist

Dann kannst du aus der ersten Zeile von v*v^T den Faktor v1 rausziehen

(wenn alles 0 ist, ist ja eh die det = 0 )

und aus der zweiten den Faktor v2.

Danach hat die Matrix die erste und zweite Zeile gleich, also ist det = 0.

Comments

ich bin grad dabei,

aber habe auch hier eine sehr wichtige frage

warum die 2zeile -1/3 machen? wegen der 0 ja normaler alles null?

umdas zumgehen zu können aber warum und warum -1/3`?

und wieso genau verwenden wir diesmal keine lamdas?

vielen dank

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ist diese begründung hierfür richtig?

det(A-B)= 0?

also vektor so richtig gerechnet?

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für 1/4det(B) verfolge ich diese logik.

nehme die lösung aus B nehme mal 1/4?

also -4 * 1/4 = -1

richtig so?

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det(1/4B)    weil es 4x4 Matrix ist:

= (1/4)^4 * det(B)

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also

-4/256 = -1/64 so richtig?

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Ich denke schon.

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habe ich B^(-1) und anschließend B^(3) richtig gerechnet?

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ich habe für

det((B^(-1))^(3)A^(T)) raus bekommen 7/8 stimmt das?

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und Wie geht die c??

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det(B^(-1) ) = 1 / det(B) = -1/4

det(B^(-1)^3 ) =(-1/4)^3 = -1/64

det(A^T) = det(A) = -56 also

det((B^(-1))^(3)A^(T)) = 56/64 = 7/8   Du hast da allerdings sehr viel

Aufwand für betrieben. Vermutlich solltet ihr

die Eigenschaften verwenden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Eigenschaften

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Kannst du mir bitte b und c zeigen?

Ich brauch die noch .

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Für b) nimm dir mal so einen Vektor v = (v1,v2,....,vn)

und bilde das Produkt.

Wenn du dann aus der ersten den Faktor  v1 herausziehst

und aus der zweiten das v2 , dann sind in

der Matrix die ersten beiden Zeilen gleich , also det=0.

Answer 2

Aufgabenteil c)

Wenn A schiefsymmetrisch ist gilt

$$ A^T = -A $$

Also

$$ \det(A) = \det(A^T) \\\implies \det(A) = \det(-A) \\\implies \det(A) = (-1)^n \det(A)\\\implies ((-1)^n-1)\det(A) =0\\\implies \det(A)=0 \vee (-1)^n=1$$

In IR (und jedem anderen Körper mir Charakteristik ≠2) gilt für ungerade n aber

$$(-1)^n\neq 1$$

Also muss \( \det(A) = 0 \) sein

Comments

Vielen dank

Kannst du mir noch bitte mir basiswechsel aufgabe helfen?