Aufgabe:
Seien (D1) (Normierung), (D2) (Multilinearität) und (D3) (alternierend) die drei Eigenschaften der Determinante. Finden Sie jeweils eine Abbildung f : M2(R) → R, die:
(a) (D1) und (D2) erfüllt, aber nicht (D3). (b) (D1) und (D3) erfüllt, aber nicht (D2). (c) (D2) und (D3) erfüllt, aber nicht (D1).
Erfüllt eine der drei von Ihnen gefundenen Abbildungen die Eigenschaft
A ∈ M2(R) ist invertierbar genau dann, wenn f(A)≠0
(D1) det(In) = 1 (Normierung);
(D2) die Abbildung det ist linear in jeder Zeile: Sei 1 ≤ i ≤ n, seien v1, . . . , vn, vi′
n-dimensionale Zeilenvektoren und sei λ ∈ R, dann gilt
det(v1,...,vi+λvi′,...,vn)=det(v1,...,vi,...,von) + λ*det(v1,...,vi′,...,vn)
(Multilinearität);
(D3) wenn A ∈ Mn(R) zwei gleiche Zeilen hat, dann gilt det(A) = 0 (alternierend).
