Zeigen Sie, dass die rekursiv gegebene Folge konvergiert und bestimmen Sie schrittweise den Grenzwert

Question

Zeigen Sie, dass die rekursiv gegebene Folge

      3a_n+1 = 2a_n +10,             n∈ℕ,    a₁ =25

konvergiert und bestimmen Sie schrittweise den Grenzwert.
Berechnen Sie zudem das kleinste n ∈ℕ für das a_n vom Grenzwert a weniger als 0.5 abweicht.

Überlegen Sie, ob (a_n) _n∈ℕ ggf. beschränkt ist und wie (a_n)_n∈ℕ verläuft.

Answer 1

Zeige a_n+1 - a_n = 10-(1/3)a_n 

und begründe ( wegen 10 - (1/3) * 25 > 0) ,

dass dies immer positiv ist.

Die Folge ist also monoton streng monoton fallend.

und nach unten beschränkt; denn negative Werte

sind sicher nicht möglich.

Ist nun g der Grenzwert, dann mü+sste gelten

(Da a_n+1 und a_n beide gegen g gehen.)

3g = 2g + 10

  g=10