Welches ist das Symmetrieverhalten für die Funktion f(x)= -x^3+x+1

Question

Aufgabe:

Welches ist das Symmetrieverhalten für die Funktion f(x)=-x^3+x+1?

Problem/Ansatz:

In meiner Lösung steht, dass ungerade und gerade x-Potenzen auftauchen. Jedoch sind hier doch nur ungerade Exponenten, oder?

Answer 1

\(-x^3+x+1=-x^3+x+1x^0\) und null ist eine gerade Zahl.

Answer 2

Keine Standardsymmetrie, weil gerade und ungerade Exponenten von x auftauchen

f(x) = -x^3 + x + 1 = -x^3 + x^1 + 1x^0

3 und 1 sind ungerade aber 0 ist gerade.

Ansonsten ist jede kubische Funktion

y = ax^3 + bx^2 + cx + d

punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt.

f(x) = -x^3 + x + 1

f'(x) = -3x^2 + 1

f''(x) = -6x^2 = 0 → x = 0

f(0) = 1

Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt P(0 | 1).

Answer 3

Ganzrationale Funktionen sind immer symmetrisch zu ihrem immer vorhandenen einzigen Wendepunkt, wie sich leicht zeigen lässt. Die vorliegende Funktion f ist also symmetrisch zu \((0\vert 1)\). Insofern ist deine "Lösung" ein wenig irreführend!

Insbesondere ist f natürlich nicht symmetrisch zum Ursprung, da wegen \(1=1\cdot x^0\) auch gerade Exponenten in der Polynomdarstellung auftauchen. Allerdings ist \(g(x)=-x^3+x=f(x)-1\) offensichtlich symmetrisch zu \((0\vert 0)\) und da f aus dieser Funktion durch eine Verschiebung um eine LE nach oben dargestellt werden kann, also \(f(x)=g(x)+1\) gilt, verschiebt sich auch der Symmetriepunkt \((0\vert 0)\) von g um eins nach oben zum Symmetriepunkt \((0\vert 1)\) von f.

Answer 4

Hallo Sarah,

f(x) = - x³ +  x + 1  = -x³ + x¹ + x⁰    , denn x⁰  = 1  

       →   auch der gerade Exponent 0 kommt vor

       →   keine  einfache Symmetrie

die Funktion ist aber punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt.

Gruß Wolfgang