Hat jemand eine Idee, wie ich das hinkriegen könnte?

Question

ich würde gerne für alle natürlichen n >= 1 folgende Ungleichung zeigen:
\( 4 \leq\left(\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\frac{6}{8}\right)^{k}\right)+\frac{24}{2 n+8} \)
Hat jemand eine Idee, wie ich das hinkriegen könnte?

Alternativ könnte man auch folgende Ungleichung beweisen:

\( (2 \mathrm{n}+6)^{\mathrm{n}}(8 \mathrm{n}+8) \geq(2 \mathrm{n}+8)^{\mathrm{n}}(2 \mathrm{n}+8) \)
Das käme soweit ich weiß auf das gleiche raus.

LG, Lasse

Answer 1

Die Summe ist eine geometrische Reihe mit dem Wert 1/(1-6/8)= 4

Comments

Jetzt müsstest du bloß noch verraten was einem diese Information nützen sollte.

Answer 2

Hallo,

Ich würde jetzt sagen (ohne Garantie), dass du bei dem 1. die geometrische Reihe anwenden und dann damit weiter machen ODER den binomischen Lehrsatz anwenden könntest.

Bei dem alternativen könntest du die vollständige Induktion mit dem Induktionsschritt n ~> n+1 anwenden.

LG

Answer 3

Wer schreibt dort 6/8 und nicht 3/4 ?

Σ (k = 0 bis n) ((3/4)^k) + 12/(n + 4) ≥ 4

((3/4)^(n + 1) - 1)/(3/4 - 1) + 12/(n + 4) ≥ 4

4 - 3·(3/4)^n + 12/(n + 4) ≥ 4

12/(n + 4) - 3·(3/4)^n ≥ 0

12/(n + 4) ≥ 3·(3/4)^n

12/(n + 4) ≥ 3·(3/4)^n

(n + 4)/12 ≤ 1/3·(4/3)^n

n + 4 ≤ 4·(4/3)^n

n + 4 - 4·(4/3)^n ≥ 0

Das kannst du jetzt mittels Induktion oder Monotonieuntersuchung beweisen. Das könnte man dann ebensogut auch früher machen. Ich dachte ich würde jetzt noch etwas geschickteres sehen.