Sei an eine Folge nicht-negativer Zahlen.
Beweisen Sie, dass für jedes m ∈ ℕ gilt:
$$\prod_{n=1}^{m}{1+a_n} ≤ exp(\sum\limits_{n=1}^{m}{a_n} ) $$
Induktionsanfang
$$\prod_{n=1}^{1}{1+a_n} ≤ exp(\sum\limits_{n=1}^{1}{a_n} ) $$
$$1=\prod_{n=1}^{1}{1} = exp(\sum\limits_{n=1}^{1}{0} ) =1$$
Ich habe mal den Anfang gemacht, dann haben die anderen auch die richtige Form. Der Induktionsanfang sollte stimmen, doch ich habe jetzt keine Zeit. Vielleicht macht ja jemand weiter. Sonst bis später.
$$g(x)=1+x \space ; \space g' (x)=1$$
$$f(x)=e^x \space ; \space f' (x)=e^x>1$$
$$g(0)=f(0) \space;\space g'(x)≤f'(x)→$$$$g(x)≤f(x)$$
Damit ist der Anfang gezeigt.
Induktionsannahme
$$\prod_{n=1}^{m}{1+a_n} ≤ exp(\sum\limits_{n=1}^{m}{a_n} ) $$
Zu zeigen
$$\prod_{n=1}^{m+1}{1+a_n} =1+a_{m+1}*\prod_{n=1}^{m}{1+a_n}$$$$≤e^{a_m+1}*exp(\sum\limits_{n=1}^{m}{a_n} )=exp(\sum\limits_{n=1}^{m+1}{a_n} ) $$
da die Aussage wie gezeigt jeweils für beide Faktoren stimmt, ist sie auch für das Produkt richtig.
wzzw
