Beweisen mit vollständiger Induktion: 4^n/(2n+1) < ( 2n tief n) < 4^n

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion für \( n \in \mathbb{N}: \)

a) \( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k\right)^{2} \)

b) \( \sum \limits_{k=1}^{2 n}(-1)^{k+1} \frac{1}{k}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)

c) \( \frac{4^{n}}{2 n+1}<\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)<4^{n} \)

Comments

Zu a) Verwende: https://www.mathelounge.de/163467/beweise-summenformel-kubikzahlen-vollstandige-induktion

und die Formel für die arithmetische Reihe 1+2+3+4+....+ n = 1/2 * n(n+1)

Answer 1

Zu (b)

Der Induktionsanfang für\( n=1 \) sollte klar sein.
Jetzt ist zu zeigen das gilt
$$ \sum_{k=1}^{2(n+1)} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k} $$
Es gilt
$$ \sum_{k=1}^{2(n+1)} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} $$
$$ \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}  $$

Außerdem gilt
$$ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}=\sum_{k=2}^{n+2} \frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} $$
Es gilt
$$  - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} $$

Damit ist alles bewiesen.