Beweis mit vollständiger Induktion: ∑i^4 = (n*(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1))/30

Question

Hallo :) Ich würde gerne folgende Aufgabe lösen:

"Beweisen Sie mit Hilfe der vollsätndigen Induktion das gilt:

∑i^4  =  (n*(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1))/30

Auf dem hochgeladenen Bild sieht man meinen Lösungsweg bis zu dem Punkt an dem ich nicht mehr weiter komme. Ich hoffe, dass man meine Schrift gut genug erkennen und lesen kann :)

Über einen Tipp wie ich an der Stelle am besten weiter machen sollte, würde ich mich sehr freuen, da ich wirklich überhaupt keine Idee habe, wie ich weiter vorgehen könnte :/

vielen Dank! :)

 

Answer 1

∑(i = 1 bis n) i^4 = n·(n + 1)·(2·n + 1)·(3·n^2 + 3·n - 1)/30


Induktionsschritt n --> n + 1

∑(i = 1 bis n + 1) i^4 = (n + 1)·(n + 2)·(2·(n + 1) + 1)·(3·(n + 1)^2 + 3·(n + 1) - 1)/30

∑(i = 1 bis n) i^4 + (n + 1)^4 = (n + 1)·(n + 2)·(2·(n + 1) + 1)·(3·(n + 1)^2 + 3·(n + 1) - 1)/30

n·(n + 1)·(2·n + 1)·(3·n^2 + 3·n - 1)/30 + (n + 1)^4 = (n + 1)·(n + 2)·(2·(n + 1) + 1)·(3·(n + 1)^2 + 3·(n + 1) - 1)/30

n·(n + 1)·(2·n + 1)·(3·n^2 + 3·n - 1) + 30·(n + 1)^4 = (n + 1)·(n + 2)·(2·(n + 1) + 1)·(3·(n + 1)^2 + 3·(n + 1) - 1)

n·(2·n + 1)·(3·n^2 + 3·n - 1) + 30·(n + 1)^3 = (n + 2)·(2·n + 3)·(3·(n^2 + 2·n + 1) + 3·n + 2)

... nach ausmultiplizieren ...

6·n^4 + 39·n^3 + 91·n^2 + 89·n + 30 = 6·n^4 + 39·n^3 + 91·n^2 + 89·n + 30

Das war zu zeigen, damit ist die Summenformel bewiesen.

Comments

Zuerst einmal vielen lieben Dank für die Antwort! :)

Leider verstehe ich diesen Schritt trotz langem Grübeln immer noch nich…

n·(n + 1)·(2·n + 1)·(3·n2 + 3·n - 1) + 30·(n + 1)4 = (n + 1)·(n + 2)·(2·(n + 1) + 1)·(3·(n + 1)2 + 3·(n + 1) - 1)

was genau wird da denn gemacht? Könnten Sie mir vielleicht erklären wie sie das hier umgeformt haben und wofür das notwendig ist? :)

---

Ich würde sagen dort habe ich de ganze Gleichung mal 30 genommen, damit ich mich nicht mit Brüchen herumschlagen muss. Danach habe ich noch durch (n + 1) geteilt bevor ich die Terme ausmultipliziert habe.

Das ausmultiplizieren wollte ich euch hier ersparen. Außerdem sollte das glaube ich jeder hinbekommen.