Zeigen, dass der Flächeninhalt immer der selbe ist

Question

Ich weiß, dass bei dem Heron-Verfahren immer der selbe Flächeninhalt heraus kommt aber ich weiß nicht warum...

Die Frage lautet wie folgt:

Zeige, dass die Folge der Flächeninhalte A(n)n Element aus N mit A(n)= an*bm f.a n Element aus N konstant ist und begründe anschaulich welchen Grenzwert (an)element aus N und (bn) n Element aus N haben.

\( a _ { n } = \frac { a _ { n - 1 } + b _ { n - 1 } } { 2 } \) und \( b _ { n } = \frac { 2 } { a _ { n } } \) besitzt.

Answer 1

Dann berechne doch a_n*b_n , indem du für a_n den in deinem Bild sichtbaren Bruch einsetzt und ebenso den (nicht vollständig sichtbaren) Term für b_n verwendest.

Answer 2

Leider kann man b_n auf deinem Foto nicht erkennen.

Das Heronverfahren bezieht sich auf das Ziehen von Wurzeln. Da es aber um Flächeninhalte geht, vermute ich, dass die Heronformel gemeint ist.

Eine Antwort kann man erst nach Klärung der Aufgabenstellung geben.

Comments

Der Wurzelwert wird doch gerade mit Hilfe von Flächenberechnungen bestimmt.

Ein Rechteck mit einem Flächeninhalt A wird in ein flächengleiches  Rechteck umgewandelt, bei dem sich die beiden Seitenlängen weniger unterscheiden als vorher. Nach wenigen Schritten haben beide Seitenlängen näherungsweise die Länge √A.

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Dann ist es ja noch einfacher.

Die eine Seitenlänge ist a_n und die andere ist b_n=2/a_n.

Das Produkt a_n*b_n ist damit konstant 2.

Diese Vorschrift gilt dann auch bei

a_n+1*b_n+1 = 2,

a_n+2*b_n+2 = 2 usw.

Es geht also um ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 2, und jede Seitenlänge nähert sich in diesem Prozess an √2 a,