Analysis Übung Konvergenz zeigen

Question

Aufgabe: Sei b ∈ N, b ≥ 2. Zeigen Sie
a) Für jede Folge (a_n)_n∈N natürlicher Zahlen,  ∀n ∈ N : a_n ≤ b − 1, konvergiert die
Reihe x(a) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n b^{-n-1} \)
b) Für jede solche Folge (a_n)_n∈N ist x(a) ∈ [0, 1].
c) Für zwei solche Folgen (a_n)_n∈N,(˜a_n)_n∈N gilt x(a) = x(˜a) genau dann, wenn eine
der folgenden Situationen eintritt:
(i) ∀n ∈ N : a_n = ˜a_n                                                                                                                      oder

(ii) es gibt ein n0 ∈ N mit

1. ∀k ∈ N, k < n₀ : a_k = ˜a_k,
2. a_n0 = ˜a_n0 + 1 und
3. ∀k ∈ N, k > n₀ : a_k = 0 und ∀k ∈ N, k > n₀ : ˜a_k = b − 1
oder
(iii) es gibt ein n0 ∈ N mit
1. ∀k ∈ N, k < n₀ : a_k = ˜a_k,
2. a_n0 = ˜a_n0 − 1 und
3. ∀k ∈ N, k > n₀ : a_k = b − 1 und ∀k ∈ N, k > n₀ : ˜a_k = 0.

Problem/Ansatz:

Also bei b/c weiß ich gar nicht weiter, bei a ist das mein Anfang: wir wissen dass b ≥ 2 und a_n≤ b − 1 also können wir sagen a_n≤ b − 1<b≥ 2, wenn die reihe x(a) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n b^{-n-1} \) dann haben wir \(a_n * b^{-n-1}\) wie zeige ich jetzt dass das ganze konvergiert? Bin neu hier, würde mich sehr über Hilfe freuen :)

Comments

Hallo,

interessierst Du Dich noch für eine Lösung oder ist das Übungsblatt schon "durch"?

Answer 1

Hallo

zu a) setze wirklich die Majorante Reihe ein  wegen a_n<b-1 hast du \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{1/b^n-1/b^{n+1}}\)

und die Teleskopsumme  kannst du lösen, dann bei b ) für b>=2 einsetzen

bei  dem Rest der Aufgaben sieh deinen post nochmal an, das ist nicht oder schwer zu lesen -

Gruß lul