Quotientenkriterium. Konvergenz einer Reihe beweisen. ∑ 1/n^n

Question

hallo ich benötige hilfe und zwar ich weiß nicht wie man so was  dass beweisen kann.kann jemand mir vielleicht das erklären danke im Voraus

∞

∑ 1/n^n

 n=0 

Answer 1

$$ |\frac {  { a }_{ n+1 }}{  { a }_{ n } }|=\frac { n^n }{ (n+1)^{n+1} }\\=\frac { 1 }{ (n+1) }\frac { n^n }{ (n+1)^{n} }=\frac { 1 }{ (n+1) }(1-\frac {1  }{ n+1 })^n\to 0 \text{ für n gegen unendlich}$$

Comments

ich bedanke mich bei Ihnen für die Mühe aber können sie bitte erklären was sie genau gemacht haben.Ich möchte es gerne verstehen.

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Es wurde das Quotientenkriterium angewandt.

Danach wurde mithilfe von Potenzregeln der Bruch umgeformt.

n/(n+1) kann man zu 1- 1/(n+1) umformen.

In der letzten Zeile steht dann

$$\frac { 1 }{ (n+1) }(1-\frac {1  }{ n+1 })^n$$
Der erste Faktor 1/(n+1)strebt gegen 0 für n gegen unendlich,
der rechte Teil strebt gegen e^{-1}. Somit strebt das Produkt gegen 0*e^{-1}=0<1
Damit konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.