Reihen Konvergenz falls a^2k und b^2k konvergent dann auch folgende Reihen

Question

Aufgabe: Zeigen Sie: Sind die Reihen \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{a^2_k} \) und \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{b^2_k} \) konvergent, so konvergieren auch die Reihen:

Text erkannt:

\( \quad \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left|a_{k} b_{k}\right|, \quad \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)^{2}, \quad \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\left|a_{k}\right|}{k} \)

Problem/Ansatz:

Wie genau löse ich die Aufgabe?

Comments

Hallo

wie wäre es mit Kovergenzkriterien?

lul

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Ich habe das jetzt mal versucht und kam auf folgendes Ergebnis.

Text erkannt:

fiv: \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}|a k b b| \)
Ser \( \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}^{2}=\left(\frac{1}{k}\right)^{2} \) nad \( \sum \limits_{k=n}^{\infty} b_{k}=\left(\frac{1}{2 k}\right)^{2} \) towerent
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left|m_{k} b k\right|=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1}{k} \cdot \frac{1}{2 k}\right|=\frac{1}{2 k^{2}} \leqslant \frac{1}{2 k} \leqslant \frac{1}{k} \)
D nach dem Minorantenteriterium koovusies and diese Reite
\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(a k+b_{k}\right)^{2}=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{2 k}\right)^{2} &=\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{4 k^{2}}+\frac{1}{2 k^{2}} \\ &=\frac{4+1+2}{4 k^{2}}=\frac{5}{4 k^{2}} \\ & \leq \frac{1}{4 k}<\frac{1}{k} \end{aligned} \)
Nach don Minorantunkiterium konvergied dive Reite
\( \left.\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{|a k|}{k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\frac{1}{k}}{k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \leqslant \frac{1}{k}\right)_{k=1 n i 2^{2}-2} \)
Nach dem Minorantententerium konversiad dicse kicke

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Hallo

für mich unlesbar

lul

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Sei $$ \sum_{k=1}^{\infty }a_{k}^{2} = (\frac{1}{k})^{2}  und \sum_{k=1}^{\infty }b_{k}^{2} = (\frac{1}{2k})^{2} $$ konvergent.

$$ Für \sum_{k=1}^{\infty }|a_{k}b_{k}| :$$ 

$$ \sum_{k=1}^{\infty }|\frac{1}{k}*\frac{1}{2k}| = \frac{2}{2k^{2}} \le \frac{1}{2k}\le \frac{1}{k} $$

Da $$ \sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} $$  konvergiert, konviergiert nach dem Minorantenkriterium auch die reihe. Ist diese überlegung so richtig? Wenn nein, was wäre denn die richtige lösung?

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Zur Konvergenz der ersten Reihe: \(0\le\big(\lvert a_k\rvert-\lvert b_k\rvert\big)^2\implies2\lvert a_kb_k\rvert\le a_k^2+b_k^2\).
Zur Konvergenz der zweiten Reihe: \(0\le\big(a_k+b_k\big)^2=a_k^2+2a_kb_k+b_k^2\le a_k^2+b_k^2+2\lvert a_kb_k\rvert\).
Zur Konvergenz der dritten Reihe: Wie erste Reihe mit \(b_k=\large\tfrac1k\).

Answer 1

Hallo

schon die erste Zeile ist nicht sinnvoll , die Summe hängt sicher nicht vom Summationsindex k ab. vielleicht meinst du ak=1/k^2? , bk=1/2k^2?

Dann hast du die Behauptung nur für ein spezielles Beispiel gelöst,

das ist schon mal was, aber eben kein allgemeiner Beweis. Aber da ist noch ein Fehler drin   wieder die Summe mit den Summanden gleichgesetzt, die ergäben 1/2k^4 und die Summe darüber konvergiert wirklich allerdings die Summe über 1/k divergiert!

Das einzige, was du weisst ist dass es ein n gibt, so dass \( \sum\limits_{k=n}^{\infty} a_k -a<\epsilon\) entsprechend für die bk

Gruß lul

Comments

Achso, ok. Ja genau, ich meinte eigentlich ak= 1/k^2 und bk = 1/2k^2. Wäre es vielleicht möglich den Teil vorzurechnen bzw. zu lösen?

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Laut Voraussetzung ist die Reihe \(\sum a_k^2\) konvergent. Über \(\sum a_k\) ist nichts bekannt.

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Danke Arsinoe  das hatte ich übersehen aber dann ist es ja noch einfacher

@ meusdeus probiert mal selbst, kannst du etwa ak und bk ab einem n vergleichen?