Beweis für direkte Summe bei U ⊕ V = R^n

Question

Aufgabe:

Seien U, V ⊆ R hoch n (n ≥ 2) zwei Untervektorräume der Dimension n − 1. Es gelte U ≠ V.
Zeigen Sie, dass U + V = R hoch n.
Unter welchen Bedingungen ist es möglich, dass die Summe direkt ist (U ⊕ V = R hoch n)?

Problem/Ansatz:

Wie kann man das Beweisen?

Wir sollen diese Aufgabe beweisen aber ich weiß leider nicht wie, habe auch sonst schon nachgeschaut aber komme leider nicht drauf.

Kann mir jemand erklären wie das hier geht?

Answer 1

Seien U, V ⊆ R hoch n (n ≥ 2) zwei Untervektorräume der Dimension n − 1. Es gelte U ≠ V.
Zeigen Sie, dass U + V = R hoch n.

Wähle eine Basis B = {b1,....,b_n-1} für U. Die hat wegen dim = n-1 dann n-1 Elemente.

Diese Basis lässt sich also durch ein v∈R^n  zu einer Basis C von R^n ergänzen.

Wegen dim(V)=n-1 kann V kein echter Teilraum von U sein und wegen U ≠ V

enthält also V ein Element, das nicht in U ist. Dieses ist also dann ein Vielfaches von v.

Jedes Element x von R^n lässt sich mit der Basis C darstellen

x = a₁*b₁+...+a_n-1*b_n-1 + a_n*v

Dabei ist  a1*b1+...+an-1*bn-1   in U  und  an*v in V , also jedes x aus R^n

eine Summe von einem El. aus U und einem aus V.   #

Da U,V beides Unterräume von R^n sind, ist umgekehrt die Summe U+V

auch Unterrum von R^n . Wegen # gilt also Gleichheit.

Direkt kann die Summe also nur für n=2 sein.

Answer 2

Da ich nicht weiß, was du alles weißt hier vielleicht mal ein ziemlich einfacher Weg

$$\dim(U+V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U\cap V)$$

dim U = dim V = n-1 ist gegeben

$$ U\cap V \subsetneq U \implies \dim(U\cap V) < \dim(U) = n-1$$

hierbei geht halt ein, dass U und V verschieden sind (echte Teilmenge). Wir setzen jetzt einfach oben ein:

$$\dim(U+V)>(n-1)+(n-1)-(n-1)=n-1$$

Also dim(U+V)≥n, U+V ist aber ein UVR vom IR^n also dim(U+V)≤n. Insgesamt dim(U+V)=n, d.h. U+V=IR^n.

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Die Summe ist direkt falls

$$n=\dim(U+V)=\dim(U)+\dim(V)=2n-2$$

Also für n=2.