Lagrange-Verfahren; Rechteck; Halbkreis

Question

Aufgabe:

Ein Sportplatz wird als Rechteckfläche mit zwei aufgesetzten Halbkreisen angelegt. Die Laufbahn, also der Umfang der Fläche des Sportplatzes, soll 400 m betragen. Berechnen Sie die genauen Maße des Platzes, wenn die Rechteckfläche maximal sein soll - und verwenden Sie dabei das Lagrange-Verfahren.

Problem/Ansatz:

Ich habe eine Skizze wo ich zumindest unbekannt formeln für die 3 Formen habe, heißt halbkreis und und das Rechteck. Weiter weiß ich tatsächlich nicht. Das Lagrange Verfhren weiß ich anzuwenden aber womit denn bitte?

Answer 1

Das Rechteck soll maximal groß werden. Hat dies die Maße \(l\) und \(d\), so ist seine Fläche \(F\) $$F = l \cdot d$$

Als Nebenbedingung soll der Umfang mit den aufgesetzten Halbkreisen bei 400m liegen. Der Umfang \(U\) ist $$U = d \cdot \pi + 2 l$$ Und die Lagrange-Funktion ist $$L(l,d,\lambda) = l \cdot d + \lambda (d \cdot \pi + 2l - U)$$ Ableiten nach \(l\) und \(d\) und Nullsetzen gibt $$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial l} &= d + 2\lambda = 0 \quad \implies \lambda = -\frac12 d \\ \frac{\partial L}{\partial d} &= l + \lambda \pi = 0\end{aligned}$$Einsetzen von \(\lambda\) gibt dann $$\begin{aligned} l + (-\frac 12 d) \pi &= 0 \\ 2l &= d \pi \\ d &= \frac 2{\pi} l\end{aligned}$$ Mit Einsetzen in die Nebenbedingung erhält man konkrete Größen $$U= 400 \text{m} = \left( \frac{2}{\pi} l\right)\pi + 2l = 4l \\ \quad \implies l= 100 \text{m}; \quad d = \frac{200}{\pi} \text{m} \approx 63,66 \text{m}$$ Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für diese super Antwort.

Soweit bin ich auch mitgekommen, aber wie kommst du auf die 66m ganz zum Schluss ?

Mit freundlichen Grüßen

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Da steht nicht 66 m, sondern 63,66 m.

Nimm einen Taschenrechner, und tippe die Aufgabe

200/ π 

ein.

Answer 2

Nebenbedingung

U = 2·a + 2·pi·r

Hauptbedingung, wenn die Gesamtfläche inkl. den Halbkreisen gemeint ist

A = 2·r·a + 2·pi·r^2

Lösung: r = U/(2·pi) ; a = 0

Hauptbedingung, wenn nur die Rechtecksfläche gemeint ist

A = 2·r·a

Lösung: r = U/(4·pi) ; a = U/4

Comments

Ich habe als hauptbedingung nun länge*durchmesser+phi* r^2

Also einfach jeweils die rechteckflächenberechnung mit der kreisflächenberechnung addiert dadurch kommen bei mir dann aber insgesamt 3 Unbekannte in der Gleichung vor und somit kann ich das dann doch nur über Substitutin lösen oder?

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@hoffnung15: 2r = a oder 2r = b.

Hast du das hier genau gelesen?

https://www.mathelounge.de/596782/lagrange-verfahren-rechteck-halbkreis?show=598974#c598974

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Ich habe als hauptbedingung nun länge*durchmesser+phi* r2

Sieht das so aus wie das was ich geschrieben habe?

A = 2·r·a + 2·pi·r^2

Was ist bei dir phi und warum fehlt die 2 als Faktor.

Und was sind dann deine 3 Unbekannten.

Du kannst es selbstverständlich mit Lagrange lösen wenn du es sollst. Muss man allerdings nicht. Ich habe das regulär über Substitution und Ableiten gelöst.

Answer 3

Vom Duplikat:

Titel: Rechteckfläche mit zwei aufgesetzten Halbkreisen. Gesamtfläche soll maximal sein.

Stichworte: extremwertaufgabe,rechteck,aufgesetzt,halbkreis

Aufgabe:Ein Sportplatz wird als Rechteckfläche mit zwei aufgesetzten Halbkreisen angelegt. Die Laufbahn, also der Umfang der Fläche des Sportplatzes soll 400m betragen. Berechnen Sie die genauen Maße des Platzes wenn die Gesamtfläche maximal sein soll

Problem/Ansatz: als Hauptbedingung habe ich nun die Flächenformeln für 2 Halbkreise( also einen Kreis) und des Rechtecks addiert.

Nun bin ich mir aber unsicher mit der Nebenbedingung. Woraus entsteht die ?

Danke -.-

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Daraus dass der Umfang 400m betragen soll.

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was hast Du an dieser Antwort nicht verstanden?

Frage bitte dort nach.

Nun bin ich mir aber unsicher mit der Nebenbedingung. Woraus entsteht die ?

Ich zitiere:

Als Nebenbedingung soll der Umfang mit den aufgesetzten Halbkreisen bei 400m liegen. Der Umfang U ist \(U = d \cdot \pi + 2 l\)

.. genau das ist die Nebenbedingung.

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Die Hauptbedingung ist immer das was optimiert (maximiert oder minimiert) werden soll. Die Nebenbedingung ist das, was dabei konstant bleiben soll. Das ist hier und in der vorhergehenden Aufgabe die Länge der Laufstrecke.

Die Nebenbedingung ändert sich in diesem Fall also nicht. Die Hauptbedingung schon.

Oder ist es dann immer so, dass man nur die Hauptbedingung anpasst?

von 'immer' kann natürlich keine Rede sein. Es kommt immer auf die Aufgabe an.