Zu zeigen:
$$ \left| \int_A f ~d\mu - \int_B f ~d\mu \right| \le \int_{A\cup B} |f| ~d\mu $$
Per Definition ist mit den Indikatorfunktionen
$$ \int_A f ~d\mu - \int_B f ~d\mu = \int f\cdot\mathbb{I}_A ~d\mu - \int f\cdot\mathbb{I}_B~ d\mu $$
Du weißt hoffentlich außerdem, dass das Integral linear ist:
$$ \int f\cdot\mathbb{I}_A ~d\mu - \int f\cdot\mathbb{I}_B~ d\mu = \int f\cdot\mathbb{I}_A - f\cdot\mathbb{I}_B~ d\mu = \int f\cdot\left(\mathbb{I}_A - \mathbb{I}_B\right)~ d\mu $$
Wir verwenden jetzt die Dreiecksungleichung (oder wie man das auch immer nennen möchte):
$$\begin{aligned} \left| \int_A f ~d\mu - \int_B f ~d\mu \right| &= \left| \int f\cdot\left(\mathbb{I}_A - \mathbb{I}_B\right)~d\mu \right| \\&\le \int \left| f\cdot\left(\mathbb{I}_A - \mathbb{I}_B\right)\right|~d\mu \\&=\int \left| f\right|\cdot\left|\mathbb{I}_A - \mathbb{I}_B\right|~d\mu \end{aligned} $$
Jetzt untersuchen wir die Differenz \( \mathbb{I}_A - \mathbb{I}_B \):
$$ \left( \mathbb{I}_A - \mathbb{I}_B \right)(x) = \begin{cases} 0 & x \notin A, x \notin B\\ 1 & x \in A, x\notin B\\ -1 & x\notin A, x \in B\\0& x\in A, x \in B \end{cases} $$
also mit Betrag:
$$ \left| \mathbb{I}_A - \mathbb{I}_B \right|(x) = \begin{cases} 1 & x\in A\backslash B \text{ oder } x\in B\backslash A\\ 0 &\text{sonst} \end{cases} $$
Es ist (zeichne dir mal ein Venn-Diagramm):
$$ A \cup B = (A\backslash B) \cup (A\cap B) \cup (B\backslash A) $$
und somit \( \left| \mathbb{I}_A - \mathbb{I}_B \right| \le \left| \mathbb{I}_{A\cup B} \right| = \mathbb{I}_{A\cup B}\). Insbesondere also auch \( \left| f\right|\cdot\left|\mathbb{I}_A - \mathbb{I}_B\right| \le \left| f \right| \cdot \mathbb{I}_{A\cup B} \).
Die Aussage folgt nun einfach aus der Monotonie des Integrals:
$$ \int \left| f\right|\cdot\left|\mathbb{I}_A - \mathbb{I}_B\right| ~d\mu \le \int \left| f\right|\cdot \mathbb{I}_{A\cup B} ~d\mu = \int_{A\cup B} \left| f \right| ~d\mu $$
