Vorraussetzung für Lemma von Fatou und zeigen das ∫f(x)dx<M

Question

Aufgabe:

Also gegeben ist folgende Funktionenfolge (\(f_n\)) mit:

\(f_n:[0,1]\rightarrow ℝ, x\mapsto n^2xe^{-nx}\),

man soll

1. überprüfen ob die Voraussetzungen für das lemma von Fatou erfüllt sind

und

2. Zeigen das folgendes gilt: \(\int f(x)dx < M\)

(als Hinweis steht da man kann also nicht einfach "\(\leq\)" durch "=" ersetzen.)

Problem/Ansatz:

Irgendwie komm ich da gar nicht weiter. Wär nett wenn jem. nen Ansatz, oder sogar ne Antwort geben könnte :)

Answer 1

Hallo,

das Lemma von Fatou - das ist auch eigentlich die einzige Stärke - bedarf weniger Anforderungen an die Funktionenfolge \((f_n)_n\).

(a) Nichtnegativität:

Dies ist dadurch gedeckt, dass \(n^2>0\), die \(e\)-Funktion immer positiv ist und \(x\in [0,1]\) ist. Damit ist das Produkt mit allen drei Faktoren immer nichtnegativ.

(b) Messbarkeit

Ja, die Funktionenfolge ist messbar als Produkt messbarer Funktionen auf \([0,1]\). Die sind nämlich alle stetig und stetig impliziert messbar.

(2)

Soll \(f\) hier die Grenzfunktion sein? Weil diese ist einfach die Nullfunktion?