Euklidischer Ring gegenbeispiel

Question

R = ℤ/√-5   = {a+b√-5 | a,b ∈ℤ}

β: R/{0} => ℕ ∪ {0}, β(a+b√-5) = a² + 5b²

Problem/Ansatz:

Ich soll nun ein x, y ∈ R finden, für die es kein q,r ∈ R mit x = qy + r und

r= 0 oder β(r) < β(y) gibt.

Ich finde aber keines, kann mir jemand helfen ?

Answer 1

Nimm doch z.B. x=1+1√-5 und y=2. Angenommen es existierten jetzt q,r mit x=qy+r und N(r)<N(y). Etwa q = q1 + q2 √-5, r= r1 + r2 √-5.
Dann ist qy = 2*q1 + 2*q2 √-5.
Wir betrachten jetzt nur mal den "Imaginärteil" der Gleichung x=qy+r
1√-5 = (2*q2 + r2)√-5
Also 1 = 2*q2 + r2. Falls r2 = 0 ergibt sich ein ein Widerspruch, denn 1 ist keine gerade Zahl, 2*q2 hingegen schon. Also r2 ≠ 0. Insbesondere \( r_2^2 > 0\). Das reicht jetzt um zu sagen:
$$N(r)=r_1^2 + 5 r_2^2 ≥ 5$$
Aber
$$N(y) = 4 \not > N(r)$$