Textaufgaben zu Folgen und Grenzen

Question

Es sei q eine positive reelle Zahl. Es sei (an)n∈N+ die rekursiv definierte Folge mit 

a1=max(1,q)={1 falls q≤1,

               Und a_n+1= 1/2(an+q/an) für n ∈ ℕ⁺

                       {q falls q>1,    
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a) Es gilt a1≥√q.
b)Für alle n∈N^+ gilt an ≥√q.
c)Die Folge (an )n∈N+ ist monoton fallend. d)Die Folge (an)n∈N+ konvergiert gegen √q.
   Ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe Helfen ich danke vielmals im Voraus 

Answer 1

a)  falls q≤1 ist auch  √q ≤1  und wegen a1=1 ist also a1≥√q erfüllt.

falls q>1 ist auch  √q ≤ q   und wegen a1=q ist also a1≥√q erfüllt.

b)

  Für alle  n∈N^+ gilt:      a_n+1= 1/2(an+q/an)

   <=>   2a_n+1a_n = a_n^2 + q

  <=>  0= a_n^2 - 2a_n+1an  + a_n+1^2 - a_n+1^2 + q

<=>  0= ( a_n^2 -  a_n+1)^2 - a_n+1^2 + q

Weil das Quadrat größer oder gleich 0 ist, muss gelten

                 - a_n+1^2 + q  ≤ 0

<=>       q  ≤ a_n+1^2

==>     a_n+1 ≥√q      wegen q>1.

c) a_n - a_n+1 =  an -  1/2(an+q/an) =  (1/2)an+q/(2an)

= an * (  (1/2) - q/(2an^2) ≥ 0

weil   q/(2an^2)  < 1/2 .

Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt, also konvergent.

Für der  Grenzwert g (gegen den konvergieren ja an und an+1 ) gilt

          g = (1/2)* ( g + q / g )

          2g = g + q/g

             g =  q/g

             g^2 = q   und wegen g>0  also   =  √q.

Answer 2

https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren