Doppelbruch. Wie kürze ich hier richtig um auf das Ergebnis 1/a zu kommen?

Question

Aufgabe:

$$\dfrac { \dfrac { a + 1 } { a - 1 } - 1 } { 1 + \dfrac { a + 1 } { a - 1 } }$$ 

Problem/Ansatz:

Das Ergebnis muss 1/a sein. Ich komme allerdings nicht darauf. Wenn ich die kleinen Brüche auf einen Hauptnenner bringe, kürzt sich alles raus.

Kann mir bitte jemand Schritt für Schritt diese Aufgabe erklären

Answer 1

Zähler:

= (a+1 -(a-1) )/(a-1) = 2/(a-1)

Nenner:

=(a-1 +a+1)/(a-1) = 2a/(a-1)

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= 2/(2a)= 1/a

Comments

Im ersten Schritt wird mit a-1 erweitert. Erst in letzen Schritt wird gekürzt.

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Das bestreitet doch keiner :-) er hat es doch begriffen.

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Der Erfolg gibt dir recht. Aber, dass jemand, der auf "Kürzen" eingestellt ist, "Erweitern" sofort begreift, war nicht unbedingt zu erwarten

Answer 2

Es gibt verschiedene Wege, den Term zu vereinfachen, einer davon ist dieser:$$ \dfrac { \dfrac { a + 1 } { a - 1 } - 1 } { 1 + \dfrac { a + 1 } { a - 1 } } = \dfrac { \dfrac { a + 1 } { a - 1 } - \dfrac { a - 1 } { a - 1 }   } { \dfrac { a - 1 } { a - 1 } + \dfrac { a + 1 } { a - 1 } } = \dfrac { \dfrac { 2 } { a - 1 } } { \dfrac { 2a } { a - 1 } } = \dfrac { 1 } { a }. $$PS: Ich sehe gerade, dass du genau dies auch schon versucht hattest. Vielleicht hast du den nenner falsch zusammengefasst? Oder beim Kürzen das \(a\) irgendwie verloren?