Wie weist man nach, dass eine Abbildung ein Skalarprodukt ist?

Question

Aufgabe:

$$Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad die\quad Abbildung\quad \\ { \left< { \cdot ,\cdot  } \right>  }:\quad { R }_{ \le 2 }[x]\quad \times \quad { R }_{ \le 2 }[x]\quad \to \quad R;\\ { \left< { { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  },\quad { q }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ q }_{ 1 }x+{ q }_{ 0 } } \right>  }=2{ p }_{ 2 }{ q }_{ 2 }+{ p }_{ 1 }{ q }_{ 1 }+{ p }_{ 1 }{ q }_{ 0 }+{ p }_{ 0 }{ q }_{ 1 }+2{ p }_{ 0 }{ q }_{ 0 }\\ ein\quad Skalarprodukt\quad des\quad { R }_{ \le 2 }[x]\quad ist.$$

Problem/Ansatz:

Hallo liebes Forum,
ich habe die Folgende Übungsaufgabe zu einem mir komplett neuen Thema und weiß leider gar nicht, wie ich die bestimmten Kriterien nachweisen soll.
$$u,v,w\in \quad V\quad und\quad \alpha \in \quad R\\ 1)\quad \left< u+v,w \right> =\left< u,w \right> +\left< v,w \right> \\ 2)\quad \left< \alpha u,v \right> =\alpha \left< u,v \right> \\ 3)\quad \left< v,v \right> \ge 0\quad mit\quad \left< v,v \right> =0\leftrightarrow v=0\\ 4)\quad \left< u,v \right> =\left< v,u \right>$$

Ich weiß einfach nicht wie ich hier verfahren kann muss, bzw. wie ich mit Gleichung umgehen soll, damit ich diese Kriterien zeigen kann.

Bei der Nr3 könnte ich mir  es so vorstellen:

$${ \left< { { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  },\quad { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  } } \right>  }=2{ p }_{ 2 }{ p }_{ 2 }+{ p }_{ 1 }{ p }_{ 1 }+{ p }_{ 1 }{ p }_{ 0 }+{ p }_{ 0 }{ p }_{ 1 }+2{ p }_{ 0 }{ p }_{ 0 }=4{ p }_{ 2 }^{ 2 }+2{ p }_{ 1 }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }{ p }_{ 0 }+{ p }_{ 0 }{ p }_{ 1 }+2{ p }_{ 0 }^{ 2 }$$

Nur wie zeige ich dass dies >= 0 ist.

Es wäre sehr nett, wenn ich sich Jemand findet, der mir dies alles man etwas erläutert, bzw. einmal vorrechend, damit ich weiß, wie man mit so etwas umgehen muss.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Für die 3 ist das doch prima

$$  { \left< { { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  },\quad { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  } } \right>  }=2{ p }_{ 2 }{ p }_{ 2 }+{ p }_{ 1 }{ p }_{ 1 }+{ p }_{ 1 }{ p }_{ 0 }+{ p }_{ 0 }{ p }_{ 1 }+2{ p }_{ 0 }{ p }_{ 0 }$$

Beachte den Kommentar von Werner.

Sollte rechnerisch schon alles stimmen.

 $$=4{ p }_{ 2 }^{ 2 }+2{ p }_{ 1 }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }{ p }_{ 0 }+{ p }_{ 0 }{ p }_{ 1 }+2{ p }_{ 0 }^{ 2 }=4{ p }_{ 2 }^{ 2 }+2{ p }_{ 1 }^{ 2 }+2{ p }_{ 1 }{ p }_{ 0 }+2{ p }_{ 0 }^{ 2 }=4{ p }_{ 2 }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }^{ 2 }+2{ p }_{ 1 }{ p }_{ 0 }+{ p }_{ 0 }^{ 2 }+{ p }_{ 0 }^{ 2 }=4{ p }_{ 2 }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }^{ 2 }+({ p }_{ 1 }+{ p }_{ 0 })^{ 2 }+{ p }_{ 0 }^{ 2 }$$

und die Summe von quadratischen Termen ist immer größer/gleich 0.

Und 4 dürfte doch auch kein Problem sein.

Bei 1 ist es etwas mehr Schreiberei. Du musst dann wohl so beginnen: Seien

$$ u=  { { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  },v=\quad { q }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ q }_{ 1 }x+{ q }_{ 0\quad  },w=\quad { r }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }x+{ r }_{ 0\quad  } } $$

und dann alles einsetzen und azsrechnen. Ambesten beide Seiten der Gleichung einzeln

und schauen, dass bei beiden das gleiche rauskommt.

So ähnlich auch 2.

Comments

hast Du Dich da verrechnet? Es ist $$\left<  p_2x^2+p_1x+p_0,\space q_2x^2+ q_1x+q_0 \right> \\ \quad =2p_2q_2+p_1q_1+p_1q_0+p_0q_1+2p_0q_0$$ dann ist doch$$\begin{aligned} \left<p,p\right> &= \left<  p_2x^2+p_1x+p_0,\space p_2x^2+p_1x+p_0 \right> \\ &= 2p_2^2 + p_1^2 + 2p_1p_0 + 2p_0^2 \\ &=  2p_2^2 + (p_1+p_0)^2 + p_0^2 \end{aligned}$$

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Ach ja, ich hatte dem Fragesteller alles geglaubt.

Ich mache einen entsprechenden Vermerk.

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und die Summe von quadratischen Termen ist immer größer/gleich 0.

Stimmt man kann ja dort ein Binom erkennen.

Wärst du noch so nett und könntest mir erklären, wie ich bei dem Rest vorgehen muss? Denn bei 3 hatte ich wenigstens eine Idee, bei dem Rest nicht.

Und ja, ich habe irgendwie eine 4 statt einer zwei geschrieben:).

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Bei 4 musst du nur in der Definition von <,...> die

Reihgenfolge tauschen und dann erhältst du z.B.,

statt 2p₂q₂ .   eben 2q₂p₂ .    und wegen der

Kommutativität der Multiplikation auf R ist das

ja eben gleich.

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Könnte dies so stimmen? Bei 1 bin ich mir unsicher.

$${ \\ 1)\quad \\ Seien\quad u={ { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  },v=\quad { q }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ q }_{ 1 }x+{ q }_{ 0\quad  },w=\quad { r }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }x+{ r }_{ 0\quad  } },\quad dann\quad gilt\\ \left< { u+v,w } \right> \quad =\quad \left< { { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  }+\quad { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  },\quad { r }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }x+{ r }_{ 0\quad  } } \right> \\ =\quad 2{ p }_{ 2 }{ r }_{ 2 }+{ p }_{ 1 }{ r }_{ 1 }+{ p }_{ 1 }{ r }_{ 0 }+{ p }_{ 0 }{ r }_{ 1 }+2{ p }_{ 0 }{ r }_{ 0 }\quad +\quad 2{ q }_{ 2 }{ r }_{ 2 }+{ q }_{ 1 }{ r }_{ 1 }+{ q }_{ 0 }{ r }_{ 1 }+{ q }_{ 1 }{ r }_{ 0 }+2{ q }_{ 0 }{ r }_{ 0 }\\ =\quad { r }_{ 2 }(2{ p }_{ 2 }{ q }_{ 2 })\quad +\quad { r }_{ 1 }({ p }_{ 1 }{ q }_{ 1 })\quad +{ \quad r }_{ 1 }({ p }_{ 1 }{ q }_{ 0 })\quad +\quad { r }_{ 0 }{ (p }_{ 0 }{ q }_{ 1 })+{ r }_{ 0 }(2{ p }_{ 0 }{ q }_{ 0 })\\ =\quad { r }_{ 2 }(2{ p }_{ 2 }{ q }_{ 2 })\quad +\quad { r }_{ 1 }({ p }_{ 1 }{ q }_{ 1 }\quad +\quad { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 })\quad +\quad { r }_{ 0 }{ (p }_{ 0 }{ q }_{ 1 }\quad +\quad 2{ p }_{ 0 }{ q }_{ 0 })\\ \\ \\ \\ 2)\\ { \left< { { \alpha (p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  }),\quad { q }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ q }_{ 1 }x+{ q }_{ 0 } } \right> \quad  }\quad =\quad \left< { { \alpha p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+\alpha { p }_{ 1 }x+\alpha { p }_{ 0\quad  },\quad { q }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ q }_{ 1 }x+{ q }_{ 0 } } \right> \quad \\ =\quad 2\alpha { p }_{ 2 }{ q }_{ 2 }+\alpha { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 }+\alpha { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 }+\alpha { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 }+2\alpha { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 }\quad =\quad \alpha (2{ p }_{ 2 }{ q }_{ 2 }+{ p }_{ 1 }{ q }_{ 1 }+{ p }_{ 1 }{ q }_{ 0 }+{ p }_{ 0 }{ q }_{ 1 }+2{ p }_{ 0 }{ q }_{ 0 })\\ =\quad \alpha \left< { { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  },\quad { q }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ q }_{ 1 }x+{ q }_{ 0 } } \right> \quad Für\quad \alpha \in \quad R\\ \\ \\ 3)\quad \\ \left< { { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  },\quad { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  } } \right>  }\quad \\ =\quad 2{ p }_{ 2 }{ p }_{ 2 }+{ p }_{ 1 }{ p }_{ 1 }+{ p }_{ 1 }{ p }_{ 0 }+{ p }_{ 0 }{ p }_{ 1 }+2{ p }_{ 0 }{ p }_{ 0 }\quad \\ =\quad 2{ p }_{ 2 }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }{ p }_{ 0 }+{ p }_{ 0 }{ p }_{ 1 }+2{ p }_{ 0 }^{ 2 }\\ =\quad 2{ p }_{ 2 }^{ 2 }+{ ({ p }_{ 1 }+{ p }_{ 0 }) }^{ 2 }+{ p }_{ 0 }^{ 2 }\quad \ge \quad 0\\ \\ 4)\\ { \left< { { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  },\quad { q }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ q }_{ 1 }x+{ q }_{ 0 } } \right> \quad  }=\quad 2{ p }_{ 2 }{ q }_{ 2 }+{ p }_{ 1 }{ q }_{ 1 }+{ p }_{ 1 }{ q }_{ 0 }+{ p }_{ 0 }{ q }_{ 1 }+2{ p }_{ 0 }{ q }_{ 0 }\\ =\quad 2{ q }_{ 2 }{ p }_{ 2 }+{ q }_{ 1 }{ p }_{ 1 }+{ q }_{ 0 }{ p }_{ 1 }+{ q }_{ 1 }{ p }_{ 0 }+2{ q }_{ 0 }{ p }_{ 0 }\quad =\quad \left< { { q }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ q }_{ 1 }x+{ q }_{ 0 }\quad ,{ p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  } } \right> \\ \qquad =>\quad Symmetrisch\quad wegen\quad der\quad Kommutativität\quad auf\quad den\quad Raum\quad R$$

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Bei 1 bin ich mir unsicher,  ich auch. Das muss wohl eher so aussehen:

$${ \\ 1)\quad \\ Seien\quad u={ { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  },v=\quad { q }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ q }_{ 1 }x+{ q }_{ 0\quad  },w=\quad { r }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }x+{ r }_{ 0\quad  } },\quad dann\quad gilt\\ \left< { u+v,w } \right> \quad =\quad \left< { { p }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ p }_{ 1 }x+{ p }_{ 0\quad  }+\quad { q }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ q }_{ 1 }x+{ q }_{ 0\quad  },\quad { r }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }x+{ r }_{ 0\quad  } } \right> \\ =\quad \left< ({ { p }_{ 2 }+{ q }_{ 2 }){ x }^{ 2 }+({ p }_{ 1 }+{ q }_{ 1 })x+({ p }_{ 0\quad  } +{ q }_{ 0\quad  }),\quad { r }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }x+{ r }_{ 0\quad  } } \right> \\ }$$

und jetzt die Klammern statt p2, p1 und so verwenden:

$$= 2({ { p }_{ 2 }+{ q }_{ 2 })*{ r }_{ 2 }+.....}$$

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Ach stimmt, danke für die Hilfe