Optimierungsaufgabe mit e Funktion

Question

Aufgabe:
Ein Rechteck A ist so angeordnet, dass eine Ecke im Ursprung und die diagonal gegenüberliegende Ecke P auf dem Graphen der Funktion f(x)=e^-x , x>0 liegt.

Welche X Koordinate mus P haben damit der Inhalt des Rechtecks maximal wird?

Wie groß ist der maximale Flächeninhalt von A?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass meine HB A=x*y ist

als ZF habe ich A(x)= x*(e^-x)

Stimmt das, wie mache ich weiter? Ich weiß nicht wie ich x rausfinden soll.. fällt mir schwer weil ich sowas nie mit einer e Funktion gemacht habe..

Comments

Sieht gut aus. Ableiten und die Ableitung nullsetzen. Dann nach x auflösen.

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habe Schwierigkeiten beim Ableiten..
Versuche es mit der Produktregel : Komme auf; 1*e^-x+-e^-x*x
weiter komme ich nicht

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Sehr schön. Jetzt das e^{-x} ausklammern und anschließend mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt nach x auflösen.

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wie klammere ich das e^-x aus weil ich hab da ja noch -e^-x

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-e^{-x} ist nichts anderes als (-1)*e^{-x}. Du kannst also das Minus eins ohne weiteres von dem e^{-x} trennen.

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Das heißt ; e^-x(x-1) ?

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Nein. Es muss heißen e^{-x}*(1-x).

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Ja hab das Mal zeichen hier weggelassen also stimmt es. Weil der Ableitungsrechner

meint e^-x*-(x-1)

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Wenn du Minus vor der Klammer in die Klammer reinziehst hast du das gleiche Ergebnis wie ich.

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Warum ändern sich denn die vorzeichen ? Ich hänge. wenn ich e^-x ausklammere bleiben ja nur -1 und mein x übrig, ich muss ja nur die in eine Klammer packen, aber anscheinend nicht.. :D

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Ausgangspunkt ist e^{-x} - x*e^{-x}

Wenn du jetzt e^{-x} ausklammerst bleibt von dem ersten e^{-x} eine 1 und von dem zweiten ein -x. Also e^{-x}*(1-x).

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Vielen DANK !

Answer 1

"weil ich sowas nie mit einer e Funktion gemacht habe.."

Na und? Du hast sowas mit Funktionen gemacht. Und dabei hast du die erste Ableitung gebildet und gleich Null gesetzt. Warum sollte das hier anders sein? Nur Mut!

Deine Zielfunktion ist richtig.

Comments

habe Schwierigkeiten beim Ableiten..

Versuche es mit der Produktregel : Komme auf; 1*e^-x+-e^-x*x

weiter komme ich nicht

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Ist doch richtig. Jetzt nullsetzen. (oder erst vereinfachen)

Answer 2

Ableitung einer e-Funktion lautet: \(\left[ e^{u(x)}\right ]'=e^{u(x)}\cdot u'(x)\) obwohl du hier den Spezialfall \(\left [ e^{-x}\right ]'=-e^{-x}\) hast.

Dann die Ableitung nullsetzen.

Comments

Ich weiß nicht wie ich X*(e^-x) ableiten soll ;

komme auf ; 1*e^-e^-x*x    weiß jetzt nicht weiter ob ich e^x ausklammern soll bzw. was ich und wie ich vereinfachen muss

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Die ist etwas unvollständig. Die Ableitung lautet \(1 e^{-x}-e^{-x}\cdot x\) und da sowohl im Minuend als auch im Subtrahend ein \(e^{-x}\) vorhanden ist, klammere das doch aus \(\rightarrow -e^{-x}(x-1)\) und dann mit der Hilfe des Satzes vom Nullprodukt nullsetzen.