Optimierungsaufgabe lösen

Question

Text erkannt:

Beweisen Sie, dass \( \left(x^{*}, y^{*}\right)=(-1,1) \) die Optimierungsaufgabe
\( \left\{\begin{aligned} \text { minimiere } & x^{2}+y^{2}+5 x-3 y \\ \text { s.t. } & -1 \leq x \leq 1, \quad-1 \leq y \leq 1 \end{aligned}\right. \)
löst.

Gegeben ist die folgende Aufgabe.

Offensichtlich erfüllt der Punkt ja die Nebenbedingungen. Wie kann ich denn nun zeigen, dass diese Punkte das Problem auch wirklich minimieren? Mein Ansatz wäre z.B. einfach die KKT-Bedingungen zu nehmen und zeigen, dass die erfüllt erden. Wäre der Ansatz richtig oder gibt es einen schnelleren, einfacheren Weg?

Answer 1

Werden die Nebenbedingungen außer acht gelassen, ergibt sich für \(x=-2.5\) und \(y=+1.5\) der kleinste Wert, nämlich \(-8.5\). Also muss \(x\) größer und \(y\) kleiner werden, um die Nebenbedingungen auch noch zu erfüllen.

Answer 2

Man kann das auf ganz einfache Weise machen:

Betrachte die Zielfunktion getrennt in \(x\) und \(y\). Dann hast du zwei Parabeln, die nach oben geöffnet sind. Deren Scheitelpunkte liegen außerhalb der Nebenbedingungen, so dass ihr Minimum jeweils am Rand angenommen wird. Bei \(x\) ist es der linke Rand und bei \(y\) ist es der rechte Rand. Die Zielfunktion ist also insgesamt in dem Punkt minimal, wo beide Teilfunktionen minimal sind.

Answer 3

Du kannst den zu minimierenden Term zunächst anders aufschreiben.

Minimiere: x^2 + y^2 + 5·x - 3·y = (x + 2.5)^2 + (y - 1.5)^2 - 8.5

Eine Summe wird minimal, wenn jeder einzelne Summand minimal wird.

(x + 2.5)^2 wird minimal für x = -1
(y - 1.5)^2 wird minimal für y = 1

Damit ist die Aufgabe gezeigt.