Trigonometrische Gleichung lösen: sin(x) + cos(x) - 1 = 0

Question

Aufgabe:

sin (x) + cos (x) -1 = 0

sin (x) = 1 - cos (x)

sin²(x) = 1 - 2 cos(x) + cos ²(x)

1 - cos² (x) = 1 - 2cos(x) + cos ²(x)

Wie rechne ich nun weiter? Mit Substitution?

Comments

Schau mal nach "Weierstrass-Substitution": http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassSubstitution.html

Answer 1

Die bisher vorgestellten Lösungen sind unnötig kompliziert.

sin (x) + cos (x) -1 = 0

sin (x) + cos (x) =1    

Jetzt beide Seiten quadrieren: und dann 1 subtrahieren:

2 sin(x) cos(x) = 0

sin(2x)=0

Comments

\(\sin(2x)\) hat nicht die selben Nullstellen wie \(\sin(x)+\cos(x)-1\).

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typischer Fehler:

nach dem Quadrieren muss man mit allen Lösungen die

Probe machen.

Bei dir gibt es auch die Lösungen von

sin (x) + cos (x) =  - 1    

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typischer Fehler

Im Gegensatz zu sehr vielen hier liefere ich selten Komplettlösungen.

Unbestritten ist ja wohl, dass für die Lösungen der Gleichung tatsächlich 
2 sin(x) cos(x) = 0 gilt.

Dass man die damit erhaltenen Lösungen und Scheinlösungen kritisch hinterfragt, sehe ich als Selbstverständlichkeit an.

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Dass man die damit erhaltenen Lösungen und Scheinlösungen kritisch hinterfragt, sehe ich als Selbstverständlichkeit an.

Das sehe ich genau so.

Answer 2

Du drehst dich etwas im Kreis. Du kannst den Ausdruck aber umschreiben

$$ cos(x) + sin(x) = \sqrt{2}\cdot \sin(x+\frac{\pi}{4}) $$

Ist das eine Aufgabe aus dem Abi, oder aus dem Studium?

Weil die Umformung vermutlich nicht so geläufig ist?

Answer 3

wenn du nicht substituieren willst (da du es dir nicht wirklich leichter machst), kannst du \(\sin(x)+\cos(x)\) auch zu \(\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{4} +x\right)\) umschreiben.

Somit ergibt sich für deine Gleichung \(\sqrt{2}\sin \left(\dfrac{\pi}{4} +x \right)=1\)

Dann die 1 auf die andere Seite und durch \(\sqrt{2}\) dividieren:

\(\sin \left(\dfrac{\pi}{4} +x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Danach Arcsin anwenden wodurch sich ergibt:

\(\dfrac{\pi}{4}+x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\; \vee \; \dfrac{\pi}{4}+x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\)

Vereinfacht:

\(x=2\pi n \;\vee \; x=\dfrac{1}{2}(4\pi n +\pi)\)

Comments

Danke für deine Hilfe :)

Wie bist du auf √sin (π/4 + x) gekommen?

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Aus den Additionstheoremen für sin und cos lassen sich Identitäten ableiten, wodurch man die Summe als Produkt darstellen kann.

sin x + cos x ist ein Spezialfall, wobei gilt: $$\cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin\left( x+\dfrac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\cos\left( x-\dfrac{\pi}{4} \right)$$

Answer 4

1 - cos^{2} (x) = 1 - 2cos(x) + cos^{2}(x)
Problem: Wie rechne ich nun weiter?

Das lässt sich äquivalent vereinfachen zu

cos(x) = cos^{2}(x) 

und weiter zu

cos(x) = 0   oder   cos(x) = 1.

Comments

Dann müsste man aber nochmal eine Probe machen, da ja die Nullstellen nicht die gleichen sind (Siehe Plot):

~plot~ cos(x);sin(x)+cos(x)-1 ~plot~

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Ja, eine Probe ist hier erforderlich, denn das Quadrieren beim Schritt von der zweiten zu dritten Zeile

sin (x) = 1 - cos (x)
sin^{2}(x) = 1 - 2 cos(x) + cos^{ 2}(x)

zu Anfang der Rechnung war keine Äquivalenzumformung, sondern eine "Gewinnumformung". Ab dieser Zeile sind also mehr Lösungen im Spiel als zuvor.

Answer 5

hier eine weitere Variante:

betrachte x€[0,2pi]

sin(x)+COS(x)=1 | COS(x)≠0, x_1=π/2 löst die Gleichung!

tan(x)+1=1/COS(x) |quadrieren

tan^2(x)+2tan(x)+1=1/cos^2(x)

 |-(tan^2(x)+1)=1/cos^2(x)

2tan(x)=0

tan(x)=0

---> x_2=0, x_3=2π

Answer 6

Nach Weierstrass gilt:

sin(x)=(2tan(x/2))/(1+tan(x/2)^2))

cos(x)=(1-tan(x/2)^2)/(1+tan(x/2)^2)

Substituiere nun \(t=\tan(0.5x)\) und erhalte:

((2t)/(1+t^2))+((1-t^2)/(1+t^2))-1=0

Du erhältst t=0 ∨ t=1

Nun resubtituieren, daraus folgt das Ergebnis.

Die Substitution kann nur genutzt werden, wenn \(x≠π+2πk\) mit \(k∈ℤ\) gilt. Prüfe, ob das also eine Lösung ist (ist es nicht)

Comments

Ok, das sieht interessant aus, besteht aber doch in seiner wesentlichen Idee darin, von zwei trigonometrischen Funktionen zu einer zu gelangen. Gibt es dazu nicht einfachere Wege?

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Sicher gibt es einfacherere Wege.