Warum gilt 0.4 ≤ P(A ∩ B) ≤ 0.6, wenn P(A)=0.6 und P(B)=0.8?

Question

Aufgabe:

Es seien zwei Ereignisse A und B in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum gegeben. Es gilt P(A)= 0,6 und P(B)= 0.8. Begründen Sie, warum man hieraus folgern kann, dass 0,4 <gleich P(A geschnitten B) <gleich 0,6.

Verwenden Sie für die Begründung geeignete Eigenschaften und Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten und geben Sie jeweils die notwendigen Formeln an.

Answer 1

Betrachte die beiden Extremfälle der Mengenbeziehung von A und B.

Answer 2

Vierfeldertafel

P(A) = a ; P(B) = b ; a ≤ b

P(A ∩ B) = p

	A	nicht A	∑
B	p	b - p	b
nicht B	a - p	1 + p - a - b	1 - b
∑	a	1 - a	1

Offensichtlich muss gelten

a - p ≥ 0 --> p ≤ a und genau so p ≤ b → p ≤ min(a, b)

1 + p - a - b ≥ 0 --> p ≥ a + b - 1

Damit muss gelten

a + b - 1 ≤ p ≤ min(a, b)

Answer 3

Du kennst doch sicher die Formel: \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\), bzw. \(P(A\cap B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B)\).

Jetzt weißt du also, dass \(P(A\cap B) = 1.4 - P(A\cup B)\) durch einsetzen. Jetzt weißt du aber auch, dass \(P(A\cup B)\) höchstens 1 sein kann (weil es eine Wahrscheinlichkeit ist), aber mindestens 0.8 (weil B eine Teilmenge davon ist).

Es folgt, dass \(P(A\cap B)\) zwischen 1.4 - 1 (=0.4) und 1.4 - 0.8 (=0.6) liegen muss.

LG