Hallo Polly,
... aber wie mache ich den Rest der Ableitung sodass das Ergebnis des Taschenrechners rauskommt?
nun zunächst mal solltest Du die Funktion richtig hinschreiben. Grosserloewe ist in seiner Antwort davon ausgegangen, dass die Funktion so lautet: $$f(x) = \frac{9}{(x-3,7)^2} + 3,8$$ ... und er hat Dir die dazu passenden Ableitungen aufgeschrieben. Die unterscheiden sich aber deutlich von dem, was Dein TR ausgespuckt hat.
Dort hast Du eingegeben: $$f(x)= \frac{9}{(x-3,7)^2 + 3,8}$$ Punktrechnung geht vor Strichrechnung, d.h. z.B.: 9/3+3=6 der Bruchstrich kommt vor dem Pluszeichen und 9/(3+3)=1,5. Bzw. in Deinem Fall hieße die zweite Variante f(x)=9/((x-3,7)2 +3,8). Das kannst Du mit der Kettenregel ableiten. Es sei $$g(x) = (x-3,7)^2 + 3,8 \quad f(x) = 9 \cdot g(x)^{-1} \\ \begin{aligned} \implies f'(x) &=9 \cdot (-1) \cdot g(x)^{-2} \cdot g'(x) \\ &= \frac{-9 \cdot g'(x)}{g(x)^2} \\&= \frac{-18(x-3,7)}{((x-3,7)^2 + 3,8)^2} \\&= \frac{-18(x-3,7)}{(x-7,4x + 13,69+ 3,8)^2}\\&= \frac{-18(x-3,7)}{(x^2-7,4x + 17,49)^2} \end{aligned}$$
Also ich kenne die Regel u'(x)×v(x)-u(x)×v'(x)/(v'(x))2 aber irgendwie bekomme ich dabei nicht das gewünschte Ergebnis.
.. kein Wunder. Korrekt muss es heißen: (u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)) / v'(x)2 auch hier gilt Punkt- vor Strichrechnung. Es ist $$\begin{aligned} u(x) &= -18(x-3,7) \\ u'(x) &= -18 \\ v(x) &= (x^2-7,4x + 17,49)^2 \\ v'(x) &= 2(x^2-7,4x + 17,49)(2x-7,4)\end{aligned}$$ jetzt alles einsetzen gibt $$\begin{aligned} f''(x) &= \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2} \\ &= \frac{-18 (x^2-7,4x + 17,49)^2 +18(x-3,7) \cdot 2(x^2-7,4x + 17,49)(2x-7,4) }{(x^2-7,4x + 17,49)^4} \\ &= \frac{-18 (x^2-7,4x + 17,49) +18(x-3,7) \cdot 2(2x-7,4) }{(x^2-7,4x + 17,49)^3} \\ &= \frac{-18 (x^2-7,4x + 17,49) +72(x-3,7)^2 }{(x^2-7,4x + 17,49)^3} \\ &= \frac{-18 x^2+133,2x - 314,82 +72x^2-532,8x+985,68 }{(x^2-7,4x + 17,49)^3} \\ &= \frac{54 x^2-399,6x +670,86 }{(x^2-7,4x + 17,49)^3} \\ &= \frac{54 (x^2-7,4x) +670,86 }{(x^2-7,4x + 17,49)^3} \end{aligned}$$ das entspricht Deiner Lösung. Der Wert 12,4233 ist gerundet!
Könntest du mir vielleicht noch bei der dritten Ableitung helfen?
Bevor ich das mache, werde ich uns die Arbeit etwas vereinfachen, sonst wird das zu unübersichtlich. Ich substituiere $$z = x-3,7$$ Dann lässt sich \(f''(x)\) schreiben als: $$\begin{aligned} f''(x) &= \frac{54 (x^2-7,4x) +670,86 }{(x^2-7,4x + 17,49)^3} \quad \text{(s.o.)} \\&= \frac{54 (x^2-7,4x + 13,69) -68,4 }{(x^2 - 7,4x + 13,69 + 3,8)^3 } \\&= \frac{54(x-3,7)^2 - 68,4}{ ((x-3,7)^2 + 3,8)^3 } \\&= \frac{54z^2 - 68,4}{ (z^2 +3,8)^3 } \end{aligned}$$ Diese Substitution ist auch unproblematisch, da \(z'=1\) ist. Also ist auch $$f'''(x) = \frac{\partial f''(z)}{ \partial z} \cdot z' = \frac{\partial f''(z)}{ \partial z}$$Man kann also einfach nach \(z\) ableiten. $$\begin{aligned} f''(z) &= \frac{54z^2 - 68,4 }{(z^2 + 3,8)^3} \quad \text{(s.o.)} \\ f'''(z)&= \frac{108z \cdot \color{green}{(z^2 + 3,8)^3} - (54z^2 - 68,4)\cdot 6z\color{green}{(z^2 + 3,8)^2}}{\color{green}{(z^2 + 3,8)^6}} \\ &= \frac{108z \cdot (z^2 + 3,8) - (54z^2 - 68,4)\cdot 6z}{(z^2 + 3,8)^4} \\ &= \frac{6z(18 z^2 + 68,4 - 54z^2 + 68,4)}{(z^2 + 3,8)^4} \\ &= \frac{216(-z^3+3,8)}{(z^2 + 3,8)^4} \end{aligned}$$Ich überlasse es Dir \(z\) durch \(z=x-3,7\) ersetzen.
Das Ergebnis habe ich mit wolfram alpha geprüft; es sollte stimmen, wenn ich mich nicht vertippt habe. Immer unter der Annahme, dass das \(f(x)\) auch das richtige war. Woher stammt das eigentlich? ... eine Schulaufgabe ist das keine - oder?
Gruß Werner
