Lokales Minimum und Monotonieverhalten

Question

Aufgabe:

a) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion g : R → R, g(x) = e^x − 1 − x und
finden Sie alle ihre lokalen und globalen Minima.
b) Zeigen Sie, dass e^x ≥ 1 + x für alle x ∈ R gilt.
c) Wenden Sie b) an, um zu zeigen,

dass die Folge xn =(1 − (1/√n))ⁿ , n ≥ 1, gegen 0 konvergiert.

Problem/Ansatz:

ich habe Idee für:

a) g(x)=e^x  -1 -x

     g'(x)=e^x -1 , dann g'(x)=0  => e^x -1=0

  => x=0

 Nun: g''(x)= e^x ,  dann g''(0)= e⁰ = 1 > 0

 Dann x=0 ein lokales Minimum.

* ich werde mich sehr freuen, wenn jemand mir mit b und c hilft.

* auch bei der Untersuchung von Monotonieverhalten bei a

Vielen Dank

Answer 1

Die auf ℝ definierte Funktion ist überall stetig und hat genau einen

lokalen Extremwert bei x=0. Dieser ist also auch global.

==>   Für alle x∈ℝ gilt  g(x) ≥ g(0) = 0 also

          e^x − 1 − x  ≥  0   | +1+x

     <=>      e^x  ≥  1+x

   also b) erledigt.

Monotonie bei a) am besten mit g ' (x) > 0 und g '(x) < 0 ergibt

dann:  streng monoton fallend von  - ∞ bis 0   und

          streng monoton steigend von  0 bis  ∞.

Comments

Super ! Dankeschön

Könntest du mir bitte mit c weiterhilfen  ?

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Könnte vielleicht so gehen:

e^x  ≥  1 + x

==>    x  ≥  ln(1 + x)   für alle x≥  -1   (wegen Def.ber. von ln )

mit x = -1 / √ n  ist das zumindest für   n>1 erfüllt

(Und das 1. Folgenglied macht ja für den Grenzwert nix aus.)

Das gäbe also

        -1 / √ n   ≥  ln(1 -1 / √ n )    | *n

         - √ n   ≥ n *  ln(1  -1 / √ n ) =   ln(  (1  -1 / √ n )ⁿ )

für alle n>1.

Für n gegen unendlich geht die linke Seite gegen - ∞

und weil die rechte Seite ja nicht größer ist, also auch.

Also hast du

$$\lim\limits_{n\to\infty}ln(x_n) = -\infty$$

und wegender Stetigkeit von ln also

$$\lim\limits_{n\to\infty}x_n = 0$$

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vielen vielen Dank !