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Aufgabe:


a) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion g : R → R, g(x) = ex − 1 − x und
finden Sie alle ihre lokalen und globalen Minima.
b) Zeigen Sie, dass ex ≥ 1 + x für alle x ∈ R gilt.
c) Wenden Sie b) an, um zu zeigen,

dass die Folge xn =(1 − (1/√n))n , n ≥ 1, gegen 0 konvergiert.


Problem/Ansatz:

ich habe Idee für:

a) g(x)=ex  -1 -x

     g'(x)=ex -1 , dann g'(x)=0  => ex -1=0

  => x=0

 Nun: g''(x)= ex ,  dann g''(0)= e0 = 1 > 0

 Dann x=0 ein lokales Minimum.

* ich werde mich sehr freuen, wenn jemand mir mit b und c hilft.

* auch bei der Untersuchung von Monotonieverhalten bei a


Vielen Dank

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1 Antwort

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Die auf ℝ definierte Funktion ist überall stetig und hat genau einen

lokalen Extremwert bei x=0. Dieser ist also auch global.

==>   Für alle x∈ℝ gilt  g(x) ≥ g(0) = 0 also

          ex − 1 − x  ≥  0   | +1+x

     <=>      ex  ≥  1+x

   also b) erledigt.

Monotonie bei a) am besten mit g ' (x) > 0 und g '(x) < 0 ergibt

dann:  streng monoton fallend von  - ∞ bis 0   und

          streng monoton steigend von  0 bis  ∞.


Avatar von 289 k 🚀

Super ! Dankeschön

Könntest du mir bitte mit c weiterhilfen  ?

Könnte vielleicht so gehen:

ex  ≥  1 + x

==>    x  ≥  ln(1 + x)   für alle x≥  -1   (wegen Def.ber. von ln )

mit x = -1 / √ n  ist das zumindest für   n>1 erfüllt

(Und das 1. Folgenglied macht ja für den Grenzwert nix aus.)

Das gäbe also

        -1 / √ n   ≥  ln(1 -1 / √ n )    | *n

         - √ n   ≥ n *  ln(1  -1 / √ n ) =   ln(  (1  -1 / √ n )n )

für alle n>1.

Für n gegen unendlich geht die linke Seite gegen - ∞

und weil die rechte Seite ja nicht größer ist, also auch.

Also hast du

limnln(xn)=\lim\limits_{n\to\infty}ln(x_n) = -\infty

und wegender Stetigkeit von ln also

limnxn=0\lim\limits_{n\to\infty}x_n = 0

vielen vielen Dank !

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