zeigen Sie, keine lokales Minimum

Question

Aufgabe:

  ƒ : ℝ²  → ℝ ,  ƒ(x , y) := (y - x² ) (y - 3x² )

zeigen Sie,

a) ƒ hat keine lokales Minimum in (0,0)

b) Die Einschränkung von ƒ auf eine beliebige Gerade durch (0,0) hat ein lokales Minimum in (0,0)

Hinweis: Geraden parametrisieren sich durch t → ( tx , ty) mit (x , y) ≠ (0,0)

Problem/Ansatz:

… Wie kann ich die Aufgabe lösen und was sind die schritte ?

Answer 1

a) ƒ hat keine lokales Minimum in (0, 0)

Bewege dich z.B. auf einer Kurve y = 2·x^2

f(x, y) = (y - x^2)·(y - 3·x^2)
f(x, 2·x^2) = (2·x^2 - x^2)·(2·x^2 - 3·x^2) = (x^2)·(- x^2) = - x^4

Du siehst das hier (0, 0) der höchste Punkt ist.

Comments

b) Die Einschränkung von ƒ auf eine beliebige Gerade durch (0,0) hat ein lokales Minimum in (0,0)

f(x, y) = (y - x^2)·(y - 3·x^2)

Hier probiere ich eine Fallunterscheidung

Fall1: x = 0

f(0, y) = (y - 0^2)·(y - 0·x^2) = y^2 → (0, 0) ist Tiefpunkt

Fall2: y = m·x

f(x, m·x) = (m·x - x^2)·(m·x - 3·x^2) = 3·x^4 - 4·m·x^3 + m^2·x^2 = x^2·(x - m)·(3·x - m)

Hier hätte man 3 Nullstellen

x = m/3 ∨ x = m ∨ x = 0 (2-fach)

Davon eine doppelte, also ein Extrempunkt (hier ein Tiefpunkt) und noch 2 einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. (0, 0) ist Tiefpunkt.

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Hier noch eine Skizze: